В качестве не плохого примера можно рассмотреть процесс падения некоего объекта. Как известно, гравитационное ускорение равняется 9,81 м/с^>2, откуда получается, что если проанализировать положение тела в каждую секунду и перевести это состояние в векторы, то они будут накапливать дополнительную нисходящую 9,81 м/с^>2 ускорения каждую секунду. Это и даёт пример простейшего дифференциального уравнения, решением коего будет функция y (t), производная которой даёт вертикальную составляющую, а скорость даёт вертикальную составляющую ускорения (1).

Это уравнение можно решить, выделив (2) для скорости и (3) для пути.

Интересен ещё тот момент, когда можно описывать движение небесных объектов в этом масштабе благодаря силе гравитации. Итак, даны два тела притяжение коего направлены в сторону друг друга с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (4).

Известно, что производная координаты – скорость, производная скорости – ускорение и нужно получить функцию для движения, но по уравнению (4), известно только уравнение для ускорения (5).

Здесь может быть странным, что производная равняется этой же функции, но это обычное явление, когда производная первого или высших порядков определяется значениями самих же себя. Но на практике, более часто приходиться работать с дифференциальными уравнениями второго порядка, как это можно увидеть и в предыдущих примерах.

Однако, существуют и дифференциальные уравнения с третьими (6) или четвёртыми (7) производными или более высокими (8) производными, что считаются дифференциальными уравнениями высшего порядка.

В некоем роде, получается, что нужно найти бесконечно много чисел, по одному на каждый момент времени, но в целом это и совпадает с описанием функции. И чаще всего, даже если во многих случаях можно применить классическое описание, то в большей мере использование технологии обычных математических преобразований уже не отвечают требованиям. Тому доказательством может случить обычное описание характеристики математического маятника.

Рассматривая реальный и идеализированный случай, можно отметить, что идеализация работает лишь на малых углах отклонения маятника, но когда же угол становиться достаточно большим, например равен полуокружности, то график описания его колебаний в целом перестают быть похожими на графики синуса или косинуса. Причиной тому является необходимость описания его движения исключительно при помощи не частных, а общих уравнений гармонических колебаний с дифференциальными уравнениями второго порядка.

Данную аналогию можно применить и для многих других физических, чаще всего реальных явлений.

1. Потрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – 4-е изд. – Фзиматлит, 2005.

4. Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории дифференциальных уравнений. – Изд. 2-е. – 2007. – 240 с.

5. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. – 3-е изд. – М.: «Вильямс», 2007.

6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.