– Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.
– Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! – предвосхитила с улыбкой Татьяна.
– Совершенно точно! – ответил Матвей. Все, что касается соотношения объёмов гиперкубов повторяется и для этих пирамид, но в силу симметрии мы можем сфокусироваться лишь на одной пирамиде, если хотите, называйте гиперпирамиде, но первое проще…
– Матвей, вдруг заговорил после небольшой паузы Борщов, – если Вы всё-таки склоняется нас в пользу геометрической наглядности, то не могли бы Вы сформулировать и саму Великую теорему в геометрической форме?
– С радостью! – ответил Матвей. Он перелистнул пару листов и наконец с расстановкой зачитал:
Формулировка теоремы Ферма в геометрической форме
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
В n-мерном пространстве объем a-Малого гиперкуба (объединение 1>n и последовательное наращивание k слоёв) прибавить объем b-Среднего гиперкуба (наращивание ещё l слоёв) образует объем c-Большого гиперкуба (ещё m слоёв). Ребра гиперкубов – целые числа. Все слои следуют последовательно и непрерывно, пронумерованы натуральными числами. Чтобы правая и левая часть уравнения Ферма были равны, необходимо соблюдение ряда условий:
с одной стороны:
центральная симметричность фигуры в виде трёх вложенных гиперкубов, непрерывность следования слоёв, их полное заполнение гиперкубиками
с другой стороны:
объём a-Малого гиперкуба равен объему множества точек между с-Большим и b-Средним гиперкубами.
При n> 2 эти условия являются взаимоисключающими и невыполнимы.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Легко убедиться на примере любой (обозначается как ∀) Пифагоровой тройки, что последнее условие, в случае такой тройки, выполняется в двумерном пространстве, т.е. для вписанных друг в друга квадратов. Формула теоремы Ферма – это аналог теоремы Пифагора, но в n-мерном пространстве. Если хотя бы Пифагорова тройка в n-мерном пространстве найдется, то Теорема Ферма и его уравнение будут опровергнуты.
– Пока все понятно, кроме слоя, что это такое? – спросил Борщов.
– Строго математически мы вводим определение слоя S как множества точек в n – мерном пространств, полученное в результате разности множеств точек вписанных друг в друга гиперкубов, с общей вершиной, рёбра которых отличаются на единицу, как на экзамене ответил Матвей (см. Рис 2.2.).
– А если не вершины, а центры гиперкубов общие, – указав на шахматную доску, сказала Татьяна, – то рёбра гиперкубов, ограничивающие слой будут отличаться на двойку?
– Абсолютно точно! – кивнул Матвей. – Но мы будем выбирать то или иное множество фигур.
1) множество фигур «начало координат в вершинах» вписанными друг в друга гиперкубов, совмещенных по произвольной вершине
или
2) в «начало координат в центре всех трёх гиперкубов a>n, b>n, c>n».
Обе геометрических фигуры соответствующих каждому из только то заданных множеств точек пространства, преобразуются друг в друга за счет отражений от гиперплоскостей, перпендикулярных каждой из n осей координат либо рассечения фигуры на «гиперквадранты» и масштабирования. Вспомните наши эксперименты с салфеткой! – Матвей схватил со стола сложенную дважды пополам салфетку и продемонстрировал ее всей компании.
– Под термином гиперквадрант понимается, например, подпространство только неотрицательных значений … – Матвей приготовился выдать строгое определение но его перебили.
– Проще говоря это салфетка сложенная на четыре части, а точнее её малый квадратик? – задала наводящий вопрос Татьяна.