Здесь я должен прояснить один небольшой, но важный момент: исключительный статус числа 1. Согласно приведенному выше определению, оно простое: если мы попытаемся разбить его на множители, максимум, что мы получим, будет 1 = 1 × 1, где нет меньших чисел. Однако позже, с развитием теории, такая интерпретация вызывает проблемы, поэтому в последние век-два математики добавили в определение простого числа дополнительное ограничение. Число 1 настолько отличается от всех остальных чисел, что его следует рассматривать как исключение, – это не простое число, но и не составное. Это третья разновидность числа – единица. Одна из причин, по которым мы называем 1 особым случаем, а не относим ее к настоящим простым числам, заключается в том, что если мы согласимся с простотой единицы, то единственность набора множителей нарушится. Вообще-то 1 × 1 = 1 – уже нарушение, а уж 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ни в какие ворота не лезет. Можно было бы изменить определение единственности и сказать «единственный, без учета дополнительных единичных множителей», но это был бы всего лишь другой способ признать, что 1 – число особое.
Много позже, в Предложении 20 Книги IX, Евклид доказывает еще один ключевой факт: «Простых чисел существует больше, чем их насчитывается в любом множестве простых чисел». Иными словами, множество простых чисел бесконечно. Это чудесная теорема и изящное доказательство, но ее появление вызвало множество проблем. Если простые числа уходят в бесконечность, но, судя по всему, расположены без всякой системы, то как можно сказать, на что они похожи?
Мы вынуждены обратиться к этому вопросу потому, что не можем оставить в стороне простые числа – очень существенную деталь математического ландшафта. Особенно часто они встречаются (и особенно полезны) в теории чисел – разделе математики, изучающем свойства целых чисел. Звучит, может быть, достаточно элементарно, но на самом деле теория чисел – один из самых глубоких и сложных разделов математики. Позже мы увидим тому множество свидетельств. В 1801 г. Гаусс, ведущий специалист того времени по теории чисел (а также, по мнению некоторых ученых, один из ведущих математиков всех времен, а может быть, и величайший из них), написал продвинутый учебник по этой теории – «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae). В нем среди множества сложных тем Гаусс указал, что не следует терять из виду два весьма фундаментальных вопроса: «Известно, что задача отличения простых чисел от составных и разложения последних на простые множители является одной из важнейших и полезнейших в арифметике».
В школе, как правило, учат ровно одному способу поиска простых делителей числа. Заключается он в том, чтобы пробовать по очереди все потенциальные делители, пока не найдется такой, на который число разделится нацело. Если вы не нашли ни одного делителя к тому моменту, как добрались до корня квадратного из первоначального числа – точнее, до наибольшего целого числа, меньшего или равного этому корню, – то число это простое. В противном случае вы найдете множитель, разделите на него и продолжите с новым числом с того же места. Эффективнее всего пробовать только простые делители, но для этого необходим список простых чисел. Поиск останавливается на корне квадратном из числа, потому что наименьший делитель любого составного числа не превосходит корень квадратный из этого числа. Однако для больших чисел эта процедура безнадежно неэффективна. К примеру, если взять число