Если же мы внимательно посмотрим на ковектор, в качестве первого примера которого брали градиент, то наглядная аналогия-интерпретация придёт сама. Её подскажет сама суть, сама природа градиента. Что такое градиент? Это направление наискорейшего возрастания некоей величины. Если мы рассматриваем поле температур на плоскости, то можем провести линии через те точки, в которых температура имеет одно и то же значение. Выберем, например, шаг в 10 градусов. И при возрастании температуры на 10 градусов будем отмечать это линией. Допустим, температура возрастает только слева направо. Тогда линии постоянства температуры будут вертикальными. И чем быстрее температура растёт, тем ближе они будут располагаться друг к другу. Вот мы и получаем наглядное представление ковектора! Это стопка линий (в более общем случае – поверхностей), на которой для ещё большего удобства галочкой показывают направление наибольшего роста величины.

В силу того, что с векторами каждый человек знаком со школы, у него уже на уровне инстинктов отработаны все действия над этими объектами. Нам теперь нужно довести до такого же автоматизма и наглядности операции с дуальными к ним объектами – ковекторами. Давайте научимся их складывать как в абстрактном алгебраическом представлении, так и в геометрическом – визуальном.

Геометрическая визуализация ковекторов.

Мы уже поняли, что удобнее представлять ковекторы как поверхности или линии. Существует немного свободы в обозначениях при начертании этих объектов. Иногда стрелочку ставят в середине стопки линий, иногда на переднем крае. Если у нас величина (энергия или температура, например) меняется сложным образом, то ковекторы мы изображаем изогнутыми линиями, кривизна которых может тоже меняться от точки к точке, или множеством линий в разных областях, имеющих разные направления. Практика показывает, что это очень удобно. Как и векторы, ковекторы являются инвариантными величинами, вещью в себе, которые не зависят от системы координат. Но их описание через компоненты будет выглядеть по-разному в разных базисах.

Для построения алгебры ковекторов полезно будет проводить аналогию с операциями над векторами и смотреть, как отличается их геометрическая интерпретация от собственно знакомых нам векторов. Мы умеем складывать два вектора. Конец одного прилагаем к началу другого и проводим линию от свободного конца первого вектора к свободному концу второго. Ковекторы можно тоже складывать. Но если мы помедитируем над тем, как сделать сложение таковым, чтобы оно сохраняло основные свойства ковекторов, то придём к следующему способу. Чертим первый ковектор в виде линий, затем на нём чертим второй. Линии обоих ковекторов образуют параллелограмм. Суммарным ковектором будут являться линии, проходящие через вершину этого параллелограмма и его диагональ.

Сложение ковекторов и умножение ковектора на число.

Мы умеем умножать вектор на число. Вектор при этом увеличивается в длине, если число больше единицы, и уменьшается, если оно меньше. Если число отрицательное, то вектор поменяет своё направление стрелочки на противоположное. С ковекторами выполняется в точности как у векторов лишь последний пункт. Если мы ковектор умножим на отрицательное число, он поменяет своё направление. В остальном ситуация иная. Умножение ковектора на число приводит к тому, что у него кратно этому числу возрастает плотность линий. Если число больше единицы, то ковектор становится более плотным, если число меньше единицы, то линии становятся более редкими пропорционально числу.