Градиент температуры и скорость преобразуются при смене координат противоположным образом!

В одномерном пространстве базис можно сменить, лишь сдвинув начало отсчёта или изменив единицу длины. Так что разнообразие координат не велико. Мы же в нашем примере для простоты поменяем единицу измерения! Перейдём от метров к сантиметрам, уменьшив тем самым единицу измерения аж в 100 раз. Температура, как и положено настоящему скалярному полю, никак на эти изменения не отреагирует. В точке «1 метр» или, как мы теперь считаем, «100 см» она как была равна 100 градусам, так таковой там и осталась. При этом градиент температуры, как величина, имеющая направление, изменился. Он был равен 100 градусов на единицу длины, а стал равен 1 градусу на единицу длины. Таким образом, компонента градиента численно уменьшилась в сто раз, как и единица длины, как базисный вектор, если угодно. Запомним это! Скорость газа тоже изменилась, но противоположным образом! Она у нас была 1 единица длины в секунду, а стала теперь равна 100 единицам длины в секунду. То есть её компонента, напротив, выросла численно в 100 раз!

Эти два варианта изменений компонент неких объектов и лежат в основе тензорного исчисления. Давайте более детально всмотримся в причину такого различного поведения координат. Представьте себя на месте учёных прошлых веков и задумайтесь, чтобы вы предприняли на их месте? Как назвали бы новые объекты, которые явно обычными векторами не являются? Как бы их обозначили? Как стали бы изображать геометрически? Для тех, кто уже знаком с математическим анализом и понятием якобиана, приведём математические выкладки, которые прямо-таки намекают на удобный и естественный способ обозначения направленных величин, которые демонстрируют два варианта изменения компонент.

Разложение векторов и ковекторов по базисным объектам намекает на способ обозначения ко- и контравариантных компонент.

В векторном анализе градиентом называют производную скалярного поля по координатам. Эта величина явно имеет направление. А вектором скорости называют производную координат по параметру (у физиков – это время).

Присмотритесь к формулам этих величин. Где стоят индексы координат в случае градиента и скорости? Правда, идея обозначать разницу в этих объектах через положение индексов просится сама собой?

Вот и учёным мужам прошлого показалось так же. С тех пор объекты типа скорости называют векторами и обозначают буквами с индексами координат сверху, а объекты, подобные градиенту, называют ковекторами, и индексы компонент пишут у них снизу. В англоязычной литературе есть способ запомнить, где какой индекс ставить. Вектора называют контравариантным объектом, так как они преобразуются противоположным способом базису. В слове contravariance латинская буква «n» похожа на стрелочку, указывающую вверх, что напоминает о положении индекса у такого объекта вверху. И наоборот, ковекторы преобразуются так же, как базис, и в символизирующем это слове сovariance буква «v» напоминает стрелочку вниз, также напоминая математику о местоположении ковариантных индексов.

Что касается причин такого различного поведения векторов и ковекторов при смене базиса, то она вполне очевидна. В одном случае координаты стоят в числителе, в другом – в знаменателе дроби или производной. Соответственно, их изменения должны либо увеличивать сами компоненты, или уменьшать. Только и всего!

Вслед за учёными задумаемся над тем, как можно чисто геометрически изобразить векторы и ковекторы. Какая визуализация будет отражать наиболее полно их суть и делать алгебраические действия над ними более наглядными? И здесь ответ напрашивается сам по себе из рассмотренного нами примера. Вектор скорости действительно удобно изображать как стрелку, в более общем случае – это действительно наш классический вектор, касательный к некоей кривой, заданной координатами, зависящими от некоего параметра.