Рассмотрим историю этого «гениального, потрясающего цифрового кода». Откуда взялись эти цифры?

Совпадение! Их открыл тоже Леонардо, и тоже итальянец, но, увы, не знаменитый да Винчи, а некий купец Леонардо Фибоначчи (1170–1250). В своем первом математическом труде «Книга Абаки» (Liber Abaci, 1202 год) он рассмотрел задачу о размножении кроликов. В результате появились замечательные числа, позже названные именем Фибоначчи:

Первые два числа в этой последовательности заданы и равны единице, то есть f_>1 = 1, f_>2 = 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Например, f_>6 = f_>5 + f_>4 (или 8 = 5 + 3). Счет можно продолжить. Так, например, двенадцатое число Фибоначчи равно f_>12 = 144.

Числами Фибоначчи можно описать как корзинку подсолнуха, так и расположение спиральных рукавов Галактики.

Отметим, что в своем труде Леонардо Фибоначчи, который по делам торговли не раз оказывался в арабском Алжире, рассмотрел впервые в европейской математике арабскую систему счисления. Привычная нам десятичная позиционная система, которую все мы изучаем в школе, в свое время стала крупнейшим прорывом в математике. Не будь ее, нам пришлось бы до сих пор пользоваться римской нотацией, столь неудобной при вычислениях.

Плавно перейдем к другой задаче по кодированию и передаче информации, где также возникают вездесущие числа Фибоначчи. Но предварим ее небольшим двойным линейным кроссвордом.

По верхнему ряду рисунков кроссворд разгадывается следующим образом: «парк, окно, сок», по нижнему ряду – «пар, кок, носок».

Как видим, сообщение «паркокносок» можно прочесть двумя способами. В данном случае информацию, состоящую из одиннадцати букв, вы легко дешифровали, используя подсказки-картинки. Но у криптоаналитика подсказок, как правило, нет.

Рассмотрим аналогичную задачу{9}, связанную с передачей информации, также состоящей из одиннадцати символов, но не сопровождающейся дополнительными подсказками.

Вот ее условие. Некоторый алфавит состоит из шести букв, которые для передачи по телеграфу кодируются одним или двумя знаками следующим образом:

При передаче некоего слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка точек и тире, состоящая из одиннадцати знаков.

Сколькими способами можно прочесть переданное слово?

Сделаем задачу более наглядной. Предположим, что вам передали следующее слово:

Попробуйте для начала разобраться с этим частным случаем.

Задача полностью аналогична той, которую вы разгадывали в линейном кроссворде. Но там вы отделяли друг от друга слова, а здесь придется отделить закодированные буквы в слове. Известно, что при передаче телеграмм или радиограмм применяется азбука Морзе, в которой, например, буква А всегда кодируется двумя знаками • –, тогда как буква Е – это одна точка •, а буква Т – просто тире – . Таким образом, получив сообщение из двух знаков • – (в котором преднамеренно пропущен пробел), вы можете его декодировать либо как букву А, либо как две буквы ЕТ.

Теперь попробуйте применить подобный подход для слова из одиннадцати знаков. Не забудьте, что наш этюд называется «Числа Фибоначчи»!

Попробуйте сделать это самостоятельно, потратьте на задачу час, два, три… Столько, сколько вам понадобится. Но не забегайте вперед, чтобы просто прочитать ответ. Задача не так сложна: при ее решении вам не придется воспользоваться ни одной математической формулой!

Подсказка: ответ задачи – двенадцатое число Фибоначчи.

Решим эту задачу подробно – шаг за шагом. Итак, слово длиной в одиннадцать знаков уже задано. Предположим, что сначала нам дана последовательность из 1 знака, затем из 2, 3…., 11 знаков. Каждый знак, как вы помните, – это либо точка, либо тире.