_>1 и h_>2, при которых Р(e|h_>1&k) = Р(e|h_>2&k), то Р(e|h_>1&k) > Р(e|h_>2&k), если и только если P(h_>1|k) > P(h_>2|k). Иными словами, если обе гипотезы h_>x и h_>2 полагают равную вероятность того, что мы обнаружим некую данность е, при заданном фоновом знании к, тогда одна из них, h_>1, будет более вероятна, чем другая, по всей совокупности данных е и к, если и только если h_>1 была более вероятна, чем h_>2 только с учетом фоновых данных. Выразим это более формально: если h_>1 и h_>2 обладают равной предсказательной силой, h_>1 будет обладать большей апостериорной вероятностью (то есть вероятностью по всей совокупности данных е и к), чем h_>2, если и только если: она повышает предварительную вероятность. Так, например, если нам даны две научные теории, с равным успехом предсказывающие некоторые наблюдаемые данные, то одна из них будет более вероятна, чем другая, если и только если она была более вероятной еще до того, как наблюдения были произведены. Или, опять же, из теоремы Байеса следует, что если P(h_>1|k) = P(h_>2|k), то Р(h_>1|e&k) > Р(h_>2|e&k), если и только если Р(e|h_>1&k) > Р(e|h_>2&k). Это означает, что если две гипотезы равновероятны до того, как получены некоторые данные е, одна из них будет более вероятна, чем другая, по всей совокупности данных, если и только если согласно этой гипотезе то, что е будет обнаружено, будет более вероятно, чем согласно другой гипотезе (в крайнем случае, h_>1 может влечь за собой е – оно может быть дедуктивным следствием h_>1, а h_>2 может влечь за собой ¬e, то есть то, что е не произойдет).

Рассмотрим еще один пример, чуть отличный от приведенных выше и иллюстрирующий действие теоремы Байеса. Пусть h – это гипотеза о том, что Джонс ограбил Барклайс Банк, е – это данные о том, что он находился около банка в момент совершения преступления, а k – это фоновое знание о том, что Джонс уже однажды ограбил другой банк (Ллойдс Банк). Тогда Р(h|e&k) будет определяться объяснительной силой h, отношением Р(e|h&k) к P(e|k), и предварительной вероятностью h, то есть P(h|k). Р(h|e&k) – это вероятность пропозиции е при данных h и k. В данном случае она равна 1, поскольку, если Джонс ограбил этот банк, он должен был находиться в это время рядом с местом преступления. P(e|k) – это вероятность того, что он будет находиться в это время рядом с местом преступления, с учетом того, что он уже ограбил Ллойдс Банк. Она будет выше, чем P(h\k), то есть вероятность того, что Джонс ограбил Барклайс Банк, при условии, что он уже ограбил Ллойдс Банк, поскольку он мог находиться там по совершенно невинному поводу. Следовательно, вероятность того, что он ограбил Барклайс Банк – это предварительная вероятность того, что он это совершил, возрастающая в той мере, в которой гипотеза о том, что он это совершил, делает е более вероятным, чем если бы он его не ограбил.

На этом этапе будет полезно, прежде чем продолжить рассмотрение главного аргумента, сделать еще одно важное замечание относительно утверждения, которое иллюстрирует теорема Байеса. Иногда считается, что мы соглашаемся с той или иной гипотезой только в том случае, если у нас есть возможность ее проверить, может ли она предсказывать определенные события, после чего мы смотрим, произойдут эти события или нет. И только если они произошли, мы соглашаемся принять эту гипотезу. Однако мне кажется, что, хотя мы часто проверяем гипотезы таким образом, нам не следует устанавливать их вероятность на основе очевидности и потому принимать их. Теорема Байеса, конечно же, не подразумевает утверждение (понятое в указанном выше буквальном смысле), что гипотезы должны успешно предсказывать в том случае, когда их вероятность устанавливается на основе очевидности. Согласно этой теореме, совершенно неважно, наблюдается ли