• в каждой колонке матрицы имеется одна единица, соответствующая величине данной цифры, а все остальные величины в этой колонке равны 0;

• сумма всех единиц в матрице массива равна длине N данного массива, например для массива из 20 цифр она равна 20;

• суммарное количество нулей и единиц в матрице каждого массива равно произведению длины N данного массива на величину основания используемой системы счисления.

Пример: BCF-запись массива из 20 десятичных цифр [1, 9, 3, 6, 4, 5, 4, 9, 8, 7, 7, 1, 0, 7, 8, 0, 9, 8, 0,2].

Рис. 6. BCF-имидж как разреженная бинарная матрица

Особенностью сетей PANN является то, что обучение нейронов по имиджам, типичное для нейронных сетей, может быть заменено переформатированием файлов, несущих числовые зависимости, к формату BCF, или просто загрузкой в сеть файлов в этом формате.

Массивы типа X в формате BCF обозначаются как матрицы |X|.

2.4.2. Сравнение числовых массивов

Сравнение объектов, или определение сходства и различия.

Определение сходства тех или иных объектов путем их сравнения играет огромную роль в мышлении, позволяет выявлять аналогии и отличия разных объектов – существ, предметов, процессов, идей и т. п. В разных отраслях науки, в первую очередь в Теории Подобия, используются безразмерные коэффициенты сходства или критерии подобия (Coefficient Similarity, или CoS), иногда называемые «мера сходства», «мера ассоциации», «мера подобия» и т. п.

Функции сравнения в PANN реализуются через математические операции над матрицами числовых массивов. Рассмотрим простейший алгоритм сравнения через векторное произведение матриц нейронов-имиджей.

Даны два массива для сравнения в виде матриц |X_>1| и |X_>2|.

|X_>1| × |X_>2|^>T – векторное произведение матрицы |X_>1| на транспонированную матрицу |X_>2|. Причем величина этого произведения пропорциональна числу совпадающих по месту в BCF-матрице единиц в |X_>1| и |X_>2|.

|X_>1| × |X_>2|^>T = N, только если |X_>1| = |X_>2|;

|X_>1| × |X_>2|^>T если |X_>1| ≠ |X_>2|;

|X_>1| × |X_>2|^>T = 0, если ни один пиксель этих матриц не совпадает.

Рассмотрим отношение:

Здесь CoS – Коэффициент Сходства между числовыми векторами X_>1 и X_>2 определяет степень близости этих векторов и описываемых этими векторами имиджей.

Примеры:

Рис. 7. Перемножение матриц для сравнения числовых массивов

Рис. 8. Сравнение десятичных числовых массивов |A| и |B|

Классические нейронные сети при распознавании только определяют, на какой класс более всего похож некоторый распознаваемый объект. При этом они не могут указать, насколько он похож. Из-за этого распознавание иногда неустойчиво – существуют известные примеры, когда изменения одного пикселя в имидже оказалось достаточным, чтобы его распознавание изменилось. Это значит, что распознавание в классических сетях сильно зависит от случайных шумов.

В PANN ситуация иная – величина коэффициента сходства очень четко показывает, насколько существенна разница между имиджами. Разница сходства в одну сотую при формате 32 × 32 пикселя соответствует примерно изменению 10 пикселей. И этого уже достаточно для того, чтобы уверенно отличать имиджи друг от друга. А разница в одну десятую говорит уже о вполне серьезном различии и высокой устойчивости распознавания, малой зависимости распознавания от шумов.

В отличие от классических нейронных сетей, сети PANN позволяют резко повысить качество распознавания за счет:

• статистической обработки распознавания по классам и по имиджам;

• совмещения распознавания по классам и распознавания непосредственно по имиджам. Причем совмещенное распознавание по классам и по имиджам позволяет решить одну из самых неприятных проблем, ограничивающих применение нейронных сетей в медицине и ряде других приложений – проблему прозрачности и объяснимости результатов работы сети. Подробнее мы расскажем об этом в разделе «4.6. Распознавание сетью PANN».