В отличие от Мальтуса, Пьер Франсуа Ферхюльст (1804–1849), бельгийский математик, сегодня известен только историкам науки, статистикам, демографам и биологам. Но через четыре десятка лет после публикации работы Мальтуса Ферхюльст внес существенный вклад в наше понимание роста, опубликовав первые реалистичные формулы, разработанные специально для того, чтобы выразить развитие ограниченного роста (Verhulst, 1838; 1845; 1847). Подобный рост управляет не только развитием всех организмов, но и повышением производительности новых методов организации труда, распространением множества инноваций и внедрением множества потребительских продуктов. Прежде чем начать раскрывать тему феноменов роста и их траекторий (в главе 2), я предложу краткое, но вполне исчерпывающее введение в характер этих формальных моделей роста и соответствующих им кривых.

Это две распространенные, но совершенно различные формы роста, траектории которых отражают простые равенства. «Относительно медленный и устойчивый» будет лучшим качественным описанием линейного роста, а «ускоряющийся и переходящий в стремительный» – экспоненциального. Все, что подчиняется линейному росту, возрастает на одну ту же величину в течение заданного периода времени, следовательно, формула линейного роста выглядит просто:

N_>t = N_>0 + kt,

где новое значение величины N_>t (в момент времени t) рассчитывается путем увеличения начального значения (N_>0) на постоянную величину k за период времени t.

Анализ большого числа сталагмитов показывает, что эти конусообразные колонны солей кальция, образующиеся на полу пещер благодаря капающей воде, часто растут тысячелетиями почти линейно (White and Culver, 2012). Даже сравнительно быстрый рост со скоростью 0,1 мм в год означает, что сталагмит высотой 1 м вырастет за тысячу лет всего на 10 см (1000 мм + 1000 × 0,1). Если нанести этот результат на график, мы увидим плавно восходящую линию (рис. 1.3). Это, конечно, означает, что темп роста как доля общей высоты сталагмита будет постоянно снижаться. Для сталагмита, растущего со скоростью 0,1 мм в год в течение 1000 лет, он будет составлять 0,01 % в течение первого года, но всего 0,009 % спустя тысячелетие.

Рис. 1.3. Тысячелетие прироста сталагмитов, иллюстрирующее траектории линейного и экспоненциального роста

Для сравнения во всех случаях экспоненциального роста значение увеличивается в одинаковое число раз за каждый одинаковый период времени. Основной функциональной зависимостью является

N_>t = N_>0 (1 + r)^>t,

где r – скорость роста, выраженная как доля единицы роста на единицу времени, например, при росте 7 % на единицу времени r = 0,07.

Экспоненциальный рост также можно выразить – после простой поправки на выбор единиц измерения времени – как

N_>t = N_>0e^>rt,

где e (e = 2,7183, основа натурального логарифма) возводится в степень rt, что легко проделать с помощью любого научного калькулятора. Мы можем представить себе пещеру, где количество капающей воды, содержащей одинаковую долю растворенных солей, постоянно возрастает, ведя к экспоненциальному росту сталагмита.

Если предположить очень малый прирост длины в размере 0,05 % в год, то сталагмит за 1000 лет увеличился бы в длину почти на 65 см (1,000 мм × 2,718^{>0,0005 × 1000} = 1648,6 мм общей длины, или прирост в размере 64,86 см), что почти на 50 % больше, чем при линейном росте. Экспоненциальный рост отображается в виде восходящей кривой, крутизна подъема которой определяется скоростью роста (рис. 1.3). Через 10 000 лет линейно растущий сталагмит удвоил бы свою высоту, и она достигла бы 2 м, в то время как экспоненциально растущему сталагмиту понадобилась бы гигантская пещера, так как его высота составила бы 148,3 м. Экспонента – произведение скорости роста и времени, поэтому прирост может быть одинаково большим как в случае низкого прироста на более длинных интервалах времени, так и в случае более коротких интервалов более быстрого роста.