Именно этим и объясняются большие успехи в решении обратных параметрических задач. Например, в случае звезд с тонкими атмосферами из физической теории тонких атмосфер получается аналитическое выражение для распределения яркости по диску звезды, зависящее от трех параметров: яркости в центре, радиуса звезды и так называемого коэффициента потемнения к краю x. Когда x = 0, диск звезды однородный, когда x = 1, яркость диска на краю равна нулю (полное потемнение к краю). Как я уже писал ранее, с использованием такого параметрического представления обратная задача интерпретации кривой блеска затменной системы сводится к нелинейной системе алгебраических уравнений, зависящей от небольшого числа искомых параметров. Эту систему можно решать любым методом, и получаемый набор искомых параметров будет устойчив по отношению к ошибкам наблюдений.

В случае затменных систем звезд с протяженными атмосферами, как уже отмечалось, не существует универсального параметрического представления для функции распределения яркости по диску звезды. Поэтому необходимо решать интегральное уравнение Фредгольма 1‑го рода для нахождения этой функции. Вначале мы с А. В. Гончарским и А. Г. Яголой решали это уравнение методом регуляризации Тихонова, который не требует выделения компакта и позволяет получить устойчивое приближение к точному решению при минимальной априорной информации о гладкости искомого решения (в этом состоит изумительная красота идеи тихоновского регуляризирующего алгоритма). В дальнейшем мы старались учесть специфику нашей обратной задачи и выделить компакт. После многомесячных изысканий я предложил использовать в качестве априорной информации в нашей модели информацию о монотонности и неотрицательности искомой функции распределения яркости по диску звезды с протяженной атмосферой.

Эта информация вытекает из общих соображений о структуре протяженной звездной атмосферы и не затрагивает деталей физической модели атмосферы. Поэтому она является универсальной для затменных систем. Какова же была моя радость, когда спустя пару недель мои коллеги и друзья, Саша Гончарский и Толя Ягола, объявили, что им удалось доказать теорему о том, что множество монотонных и неотрицательных функций является компактным! Высокий уровень математической подготовки моих друзей позволил им без труда написать алгоритм и программу для компьютера, реализующую решение нашей обратной задачи на компактном множестве монотонных (невозрастающих) неотрицательных функций. К счастью, возможности тогдашних компьютеров (ЭВМ БЭСМ-4 и БЭСМ-6) оказались достаточными для того, чтобы за несколько минут получить решение нашей задачи. Это и позволило нам получить полное решение обратной задачи: найти искомые функции, а также искомые параметры нашей модели. Конечный результат оказался очень красивым: мы свели нашу некорректную обратную задачу к условно корректной, в которой можно получить устойчивое решение и его погрешность. Соответствующая компьютерная программа решения нашей обратной задачи на множестве монотонных неотрицательных функций была опубликована на языке фортран в бюллетене «Переменные звезды». Эта программа в дальнейшем использовалась многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом, для решения обратных задач, связанных не только с анализом кривых блеска затменных систем, но и для решения других задач науки и техники.

Илл. 14. После получения премии Ленинского комсомола. 1975 г.

Раз в три года математики устраивали в разных городах так называемые тихоновские школы (конференции) по некорректным задачам. Я старался посещать каждую из этих школ и делал там доклады по применению методов регуляризации к обратным задачам астрофизики. На одной из таких школ мы с Гончарским и Яголой доложили наши новые результаты по решению некорректных задач астрофизики на компактном множестве монотонных неотрицательных функций. Наша работа всем понравилась, и было решено выдвинуть ее на соискание Ломоносовской премии МГУ. Но когда по этому поводу посоветовались с А. Н. Тихоновым, он сказал, что эта работа достойна выдвижения на премию Ленинского комсомола. Эта премия была очень престижная, она фактически приравнивалась к Государственным премиям для молодых ученых (в возрасте до тридцати трех лет). И вот в 1974 году мы с Сашей Гончарским и Толей Яголой стали лауреатами премии Ленинского комсомола за цикл работ по обратным задачам теории двойных затменных звезд.