Мы часто воспринимаем математику как набор игр, имеющих конец, – вопросов, требующих ответа; головоломок, которые предстоит решить; теорем, которые необходимо доказать. Но все вместе они образуют необозримую и нескончаемую игру, захватывающую мысли любой разумной обезьяны. «Я люблю математику, – сказала математик Роза Петер, – потому что человек вдохнул в нее дух игры, и она дала ему его величайшую игру – умопостижение бесконечности».
По моему скромному мнению, величайшая игра человечества – «Пол – это лава!», но время от времени я все же приобщаюсь к умопостижению бесконечности. Сердечно приглашаю и вас присоединиться к этому.
I
Геометрические игры
Здесь вы познакомитесь с пятью играми, действие которых разворачивается в непохожих пространствах. Надеюсь, вы вынесете отсюда как минимум то, что есть разные виды пространства.
Игра в «Точки-клеточки» напоминает вычерчивание градостроительного плана на миллиметровке. «Ростки» расползаются по змеящемуся, зыбкому пейзажу. «Супер-крестики-нолики» представляют собой фрактальный мир микрокосмов, макрокосмов, повторов. «Одуванчики» – игра продуваемых ветрами равнин и суровых векторов. Наконец, «Квантовые крестики-нолики» обитают в сверхъестественном пространстве, которое и на пространство-то почти не похоже. Охватите эти игры взглядом, и вы поймете, почему математики полагают, что геометрий много, что есть совершенно разные способы концептуализации пространства и его содержимого. «Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая, – писал математик Анри Пуанкаре, – она может быть лишь удобнее».
Тем не менее у всех этих игр есть одна общая черта: они разворачиваются на плоскости. Приключения в двумерном мире позволяют пролить свет на трехмерный, словно в театре теней наоборот.
Быть современным человеком здорово. Наши предки, словно Тарзан, перепрыгивали с ветку на ветку, а я, словно Джейн[5], перепрыгиваю из книги в книгу, со страницы на страницу, с одного листа бумаги на другой. Мой мозг создан для трехмерного мира, в котором есть глубина и объем, а я нацелился на мир двумерных документов и экранов, тонких ломтиков толстенной реальности.
Что ж, если нельзя вернуть обезьяну в джунгли, то геометрические игры позволяют сделать кое-что покруче: вернуть джунгли обезьяне. Они придают плоскости глубину, превращают двумерное в трехмерное.
Объясню, что я имею в виду, на примере трех быстрых игр.
Первая: классическая аркада 1979 года «Астероиды», где вы управляете стреловидным космическим кораблем, бороздящим просторы экрана. Этот экран – целая вселенная: долетев до края, выныриваешь с противоположной стороны. Вы будто бы живете на поверхности шара: куда ни двигайся, вернешься в исходную точку.
Однако на самом-то деле это не сфера. Вначале, «склеив» левую и правую стороны экрана, разработчики игры создали своего рода цилиндрический мир. Затем, «склеив» верхний и нижний края экрана, они соединили торцы цилиндра. В результате получилась не сфера, а бублик. Любители математики знают, что по-научному его называют тор[6].
Астероиды заполонили тороидальную вселенную. Эй, кто-нибудь, оповестите NASA!
Для нашей второй игры обратимся к математику Ингрид Добеши. «Когда мне было восемь или девять лет, – вспоминает она, – больше всего я любила играть в куклы, шить им одежду. Меня завораживало то, что, сшивая плоские куски ткани, можно сделать нечто абсолютно неплоское, имеющее изогнутые поверхности».
Спустя десятилетия ее работа над вейвлетами продвинула вперед технологию сжатия изображений. В некотором роде это одна и та же игра: плоскостность и кривизна, сплошность и поверхность, глубина и сжатие.