Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью – мой любимый, кстати:

Студенты захихикали, рассматривая на ее тонкой руке изящный браслет со знаком бесконечности.

– Это мой талисман, – она смутилась, поправляя любимое украшение.

– Разбираемся, что такое? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала, потом, потом, затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией?

,,,…

Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

– И незнакомца в подарок, который преподнес Вам браслет! – пошутил один из симпатичных и высоких парней, некто Ментор.

– Вы что-то об этом знаете? – встрепенулась Афродита.

– Не выдавайте себя так глупо, мадам, – улыбнулся Ментор.

– Мы знаем только то, что Вы нам преподаете. А еще я готов признать тот факт, что Вы прекрасны.

Афродита нахмурилась, приготовившись продолжать объяснение пределов.

– Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,,,,,,,,,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если, попробуйте построить последовательность,,. Если, то,,.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:, то все равно, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как,, и т. д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.