Б) Гиперболические точки (K <0):

Локально поверхность напоминает седло. Геодезические линии, начинающиеся из одной точки, экспоненциально расходятся. Эта особенность фундаментальна для геометрии Лобачевского и является основой конструктивных подходов в ГВИ. Такое расхождение геодезических линий может использоваться для пространственного рассеивания, задержки, удержания или локализации волн.

В) Параболические точки (K = 0):

Могут интерпретироваться как участки цилиндров или плоскостей. Вдоль одного направления поверхность не искривлена (κ = 0), а в другом – возможно иметь неплоскую форму. Геодезические линии ведут себя в таких участках подобно прямым в евклидовой геометрии. Поверхности с нулевой кривизной не способны инициировать сложные траектории или ловушки и используются в ГВИ ограниченно.

Сравнительный анализ показывает, что именно поверхности с отрицательной Гауссовой кривизной (K <0) обладают уникальными свойствами, чрезвычайно важными для ГВИ:

– Геодезические линии, хотя и расходятся локально, при наличии замкнутой геометрии (например, на псевдогиперболоиде) формируют сложные маршруты, многократные отражения и хаотически регулярные траектории, похожие на эргодические потоки.

– Волны, направляемые вдоль таких геодезических, многократно возвращаются в заданную область, вызывая длительное удержание энергии и формирование устойчивых интерференционных паттернов.

– Это создаёт условия для формирования линий фокуса, кольцевых мод или стоячих волн вдоль замкнутых геодезических – в отличие от точечной фокусировки в сферической (K> 0) геометрии.

Таким образом, гиперболические геометрии позволяют перейти от "точки-фокуса" к "области-фокуса", существенно расширяя функциональность устройств.

В приближении геометрической оптики или акустики поведение волн на таких поверхностях можно аппроксимировать геодезическими линиями. Однако для точного описания поведения поля – особенно вблизи резонансов, каустик, узлов интерференции и границ – необходимо учитывать полноволновую природу, дополнительно описанную дифракцией и интерференцией.

Геометрия в волновых уравнениях

В рамках физического описания волнового процесса на искривлённых псевдоповерхностях, геометрия входит в уравнения распространения (например, уравнение Гельмгольца) через два ключевых канала:

Метрика пространства (геометрическая структура):

Уравнения Максвелла, Гельмгольца и др. переписываются в системе координат, адаптированной к метрике поверхности. В пространстве с метрическим тензором g волновые уравнения принимают вид:

(1/sqrt/d/) d(sqrt/g/ g d Ф) + k2Ф = 0

где

Ф – амплитуда поля,

k – волновое число,

g – обратный тензор метрики.

Кривизна и метрика напрямую влияют на распространение, фазу, направление и фокусировку волны.

2. Граничные условия: Волна взаимодействует с границей – любая поверхность задаёт условия на значение поля или его производных. В ГВИ применяются:

– идеальные проводящие/отражающие условия;

– импедансные граничные условия (для акустических или электромагнитных волн);

– условия непрерывности на границах между поверхностями с различной кривизной и / или материалом.

Эффекты, возникающие на искривлённых поверхностях

– Дифракция: Становится особенно значимой в области малых масштабов (L – R),

где

L – длина волны,

R – радиус кривизны.

Искривление поверхности эквивалентно появлению функциональной апертуры или дифракционной “щели”.

– Интерференция: Многократные отражения геодезических создают устойчивые моды – резонансные стоячие волны. Модовые структуры зависят от глобальной топологии поверхности и позволяют создавать геометрически определённые резонаторы (например, псевдосферические квазиформации с Q-фактором выше, чем у стандартных плоских полостей).