Таким образом Гауссова кривизна, как внутренняя характеристика поверхности, определяет основной принцип управления волнами в ГВИ. Отрицательная кривизна (K <0) становится стратегическим ресурсом, аналогичным рефракционному индексу в традиционной оптике, заменяя активные функции настройки толщинами, изгибами и формами поверхностей. Это открывает путь к энергоэффективным, пассивным и компактным волновым системам – новым резонаторам, фильтрам, антеннам, волноводам и сенсорам, в которых форма становится функцией.

Волновые явления в структурах геометрической волновой инженерии (ГВИ) описываются фундаментальными уравнениями волновой физики – такими как уравнения Максвелла (для электромагнитных волн), уравнение Гельмгольца (для стационарных проблем), а также уравнения акустики и уравнения упругости (для механических и звуковых волн). В контексте ГВИ особенностью этих уравнений является то, что они решаются в пространстве со встроенной метрикой, отражающей искривлённую геометрию поверхностей, по которым распространяется волна.

Геометрия входит в волновое описание через два ключевых механизма:

Граничные условия.

Типы и свойства границ структур – будь то идеальный проводник, диэлектрическая или импедансная поверхность, акустическая стенка или комбинации этих условий – определяют характер отражения, поглощения и дисперсии волны. На искривлённых псевдоповерхностях граничные условия действуют не только в локальном, но и в глобальном смысле: ориентация нормали, изменение кривизны на границе, переход между областями с различной метрикой могут существенно влиять на фазовые и амплитудные характеристики волны. Кроме того, граничные условия на искривлённых поверхностях могут вызывать образование замкнутых резонансных траекторий, аналогичных модам Фабри-Перо, но сформированных исключительно за счёт геометрических параметров.

Метрика пространства.

В случае объемных метаматериалов, а также в рамках трансформационной оптики и акустики, пространственная кривизна может быть описана в тензорной форме через пространственно-зависимые параметры – диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость. Эти тензоры изменяют саму структуру волнового пространства, создавая искусственные метрики, эквивалентные искривлённому пространству из общей теории относительности. Таким образом, можно организовать "геометрическое преломление", при котором лучи распространяются не прямолинейно, а по геодезическим, определяемым распределением метрики. Такой подход особенно актуален для создания линз без рефракции (grin-оптика) и геометрических резонаторов.

Поведение волн в искривлённых геометриях определяется их взаимодействием с геодезическими траекториями (в рамках приближения геометрической оптики) и с выраженными волновыми эффектами, важность которых возрастает при уменьшении длины волны или увеличении кривизны поверхности.

Основные волновые эффекты включают:

– Дифракция.

Особенно существенна в областях, где размеры геометрических элементов поверхности – неровности, выступы, изгибы – соизмеримы с длиной волны L. В условиях резких перепадов кривизны возникают дифракционные каустики, разделённые области усиления и ослабления поля, а также длинно живущие боковые лепестки излучения. Дифракция на геометрических неоднородностях может быть аналогом Bragg-рассеяния на фотонных кристаллах, но без периодичности – только за счёт формы.

– Интерференция.

На псевдоповерхностях с замкнутыми геодезическими или повторяющимися траекториями возникают стоячие волны, интерференционные узлы и геометрически обусловленные собственные моды поля. Даже при однородной плотности материала наблюдаются пространственно неоднородные модовые распределения из-за метрики. Спектральные свойства таких резонаторов – резонансные частоты, добротность, модовая плотность – определяются в первую очередь кривизной и глобальной формой поверхности.