Теперь уже практически невозможно установить, чем же занимался Пифагор на самом деле. Однако некоторые из этих вариантов можно смело отбросить как почти наверняка недостоверные. Например, выглядит совсем маловероятным, чтобы в кузнице, мимо которой, случайно проходил Пифагор, работали именно молотками, веса которых находятся в строго определенном и точном соотношении друг с другом. Но есть и другая проблема. Хотя многие авторы и в древности, и сейчас повторяют эти истории, как если уж не достоверные, то вполне возможные, вряд ли кто-нибудь из них когда-либо пытался повторить эти опыты. Но по крайней мере один пытливый человек все же нашелся. В 1589 году Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, провел эксперименты и с удивлением обнаружил, что, вопреки повторенным многими историям из жизни Пифагора, не все эти опыты дадут одинаковые числовые соотношения. Оказалось, что, если использовать молотки, то веса молотков, создающих звуки с интервалом в октаву, будут соотноситься не как 2/1, а как 4/1. То же самое и при опыте с подвешиванием грузов – 4/1. А вот при опытах с сосудами разница с Пифагором получается еще большей: соотношение октавы в этом случае получается 8/1. Однако дудки и струна выдержали испытания и подтвердили пифагорейские соотношения.

Если Пифагор действительно проводил опыты (а это выглядит вполне вероятным), то, скорее всего, он экспериментировал с натянутой струной. При этом, если зажать струну ровно посередине, то получающийся звук будет на октаву выше звука свободной струны, то есть мы получим соотношение 1/2 или 2/1. Аналогично получаются и соотношения кварты – 4/3, и квинты – 3/2. Остальные соотношения Пифагор посчитал не дающими гармоничного звучания. Скорее всего, в основе этих числовых соотношений лежал не только эксперимент, но и столь любимая Пифагором математическая красота: все соотношения получаются из первых четырех чисел, то есть священной пифагорейской тетрады, причем во всех случаях используются соседние числа: 2/1, 3/2, 4/3.

Далее Пифагор вывел соотношения между этими интервалами. Октава включала в себя квинту и кварту: 3/2 x 4/3 = 2/1

Разницу между квинтой и квартой Пифагор назвал тоном, и определил тон соотношением 9/8: 3/2:4/3 = 9/8

Далее он посчитал, сколько тонов составляют кварту и квинту, и увидел, что количество тонов в обоих случаях не целое, но в обоих случаях остается еще небольшой интервал, который он назвал лиммой8, и который оказался равным 256/243:

4/3: 9/8: 9/8 = 256/243

3/2: 9/8: 9/8: 9/8 = 256/243

Таким образом, кварта получилась состоящей из двух тонов и лиммы, а квинта – из трех тонов и лиммы.

Позже лимма стала одной из тем для споров между математиками и музыкантами. Музыканты называли ее полутоном и говорили, основываясь на слуховом восприятии, что два полутона составляют один тон. Математики же, основываясь на точных вычислениях, заявляли, что две лиммы не дают один тон:

256/243 х 256/243 ≠ 9/8

Как об этом упоминает тот же Цензорин, говоря об октаве:

Согласно пифагорейским представлениям, весь мир основан на этой гармонии, которая выступает своего рода инструментом превращения хаоса в упорядоченный космос. В платоновском «Тимее» мы можем увидеть, как Демиург творит мир, разделяя и заполняя пустоты именно на основе гармонических соотношений. Раз гармония присутствует во всем космосе, то присутствует она и в отношении небесных тел. Как говорит Цензорин: