Данное число отражает примерно 60 транзакций за торговый день; кроме того, ежедневно мне приходилось изучать два толстых аналитических отчета (каждый из которых содержал 17 справок по разным рынкам, на которых у меня были опционные позиции). В целом было совершено 95 000 сделок с валютными опционами, 30 000 – с опционами на фондовые индексы, 30 000 – с опционами на евродепозиты (евродоллары, PIBOR, евроиены, евромарки), 1000 – с опционами на биржевые товары (живой скот, масло и т. д.). Остальные сделки совершались со свопционами и опционами на долгосрочные облигации. За всю карьеру я совершил только две сделки с опционами на ипотечные облигации (я открыл и закрыл одну сделку внутри торгового дня).

В данной книге развернутые ссылки на источники приводятся в разделе «Литература». См. Soros (1987), Derman (1996).

Black-Sholes (1973), Merton (1973).

Лишь несколько книг были написаны практиками. Одна из тех, которую можно использовать как введение в торговлю, – это Natenberg (1995). Читатели найдут там базовые понятия, необходимые для понимания торговли опционами с точки зрения «оператора» (а не покупателя или теоретика).

Данное масштабирование совместимо с ценообразованием по формуле Блэка–Шоулза–Мертона (см. Merton, 1973).

Стоимость по БШМ V(λS, λK, σ, r, d) = λV(S, K, σ, r, d)

(для формулы Блэка–Шоулза–Мертона это однородность первой степени для цены базового актива и цены страйк).

Это также однородность первой степени S, K, H_>H, H_>L (где H_>H – верхний барьер, H_>L – нижний барьер):

V(λS, λK, λH_>H, λH_>L, σ, r, d) = λV(S, K, H_>H, H_>L, σ, r, d).

В русскоязычной литературе часто употребляется термин «рехеджирование». – Прим. пер.

Лиланд (Leland, 1985) дает четкий обзор литературы по вопросу дискретного динамического хеджирования во времени. Он показывает, что реплицирующая стоимость портфеля, состоящего из длинного базового актива и короткого опциона, не всегда равна 0, если частота репликации снижается. Читатель увидит в модуле F, что цена Блэка–Шоулза является производной от стратегии, которая заставляет прибыль/убыток оставаться на нулевом уровне. В реальности невозможно постоянно покупать и продавать базовый актив для хеджирования позиции в опционе. Вместо непрерывного хеджирования dt мы выбираем Δt, промежуток времени между переоценками требуемого хеджирования. Ожидаемые прибыль/убыток позиции будут при этом равны нулю. Дисперсия пакета, по данному исследованию, уменьшается на

Один из тревожных фактов для современной финансовой теории заключается в том, что объединенный набор активов имеет дисперсию. Это выглядит так же, как и любая другая рискованная ценная бумага. Другими словами, репликация опциона имеет риски, и данный факт нужно учитывать.

Richard Feynman, QED (1985). Princeton: Princeton University Press.

Греки изначально представляли различные производные из формулы Блэка–Шоулза–Мертона. Впоследствии они стали обозначать чувствительность дериватива к тому или иному рыночному параметру.

ЭКЮ (ECU) – европейская валютная единица использовалась в ЕС до 1 января 1999 г. Была заменена на евро. – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.

См. Russell (1945).

FINEX (Financial Instruments Exchange) была поглощена биржей Intercontinental Exchange (ICE) в 2007 г. в результате приобретения ею биржи New York Board of Trade (NYBOT). Сейчас индекс доллара (USDX) рассчитывается ICE, на этой же площадке торгуются фьючерсы на него практически в круглосуточном режиме.

Торговля ими, однако, может привести к корреляции между зависимыми активами, превратив таким образом позицию в мультиактивный опцион.

Происхождение термина «загрязнение» связано с ценой опциона, которая «загрязняет» все вокруг себя. Когда опцион в какой-то точке становится дорогим, эта тенденция распространяется и на прилегающие зоны графика.

Ставка LIBOR (London Interbank Offered Rate), которая долгое время была ориентиром для краткосрочных процентных ставок на глобальном финансовом рынке, заменена в конце 2021 г. на справочные ставки овернайт. Несмотря на то что репрезентативные ставки LIBOR по USD и EUR по-прежнему доступны, многие финансовые организации и центральные банки с 2022 г. перешли на использование ставок SOFR (Secured Overnight Financing Rate) по долларам США и ESTR (Euro Short-Term Rate) по евро.

LIBOR-квадрат – это контракт (процентный своп), который предполагает выплату одной из сторон квадрата разницы между исходной процентной ставкой (в момент заключения контракта) и более высоким значением и обязывает ее выплатить квадрат разницы между более низкой и исходной ставками.

В настоящее время на биржах мира торгуются только европейские и американские опционы, причем их названия никак не связаны с географией. Например, на срочном рынке Московской биржи представлены американские опционы.

Цена опциона не может быть отрицательной величиной.

Иногда опционы вне денег все же исполняются, например перед дивидендными выплатами, когда «отрицательная» внутренняя стоимость опциона колл меньше величины дивиденда по акции, а также в некоторых других случаях.

Фьючерсы на облигации включают в себя скрытый опцион (право выбора).

При одном и том же страйке опциона.

Диксит и Пиндик (Dixit and Pyndick, 1994) исследовали применение теории опционов в сфере управления корпоративными финансами.

Длинный пут эквивалентен позиции «длинный колл / короткий форвард», поэтому P = C – F.

Форвардная дельта отражает чувствительность премии опциона к цене форвардного контракта на тот же базовый актив с тем же сроком исполнения, что и опцион. Спотовая, или денежная, дельта – чувствительность премии опциона к текущей цене базового актива на рынке спот.

Большинство трейдеров мыслят категориями форвардов, а кванты – спот-рынка, поскольку в формуле Блэка–Шоулза (Black-Sholes, 1973) цена опциона представлена как функция спот-цены актива. Подход Мертона (Merton, 1973) более совместим с методами трейдеров. Такое искажение может приводить к неправильному хеджированию при существовании валютных коридоров.

Американские опционы усложняют решение уравнения Блэка–Шоулза–Мертона в частных производных с учетом, помимо прочих условий, правил досрочного исполнения Q(t) и оптимального пути исполнения, где производная ценная бумага представляет собой φ(S – K). Такое зависящее от времени граничное условие порождает бесконечные обсуждения. Что еще хуже, как будет показано далее, могут существовать две границы.

Более сложный анализ требует использования стохастических процентных ставок и учета возможности изменения структуры дифференциала процентных ставок. Вопросы ценообразования валютных опционов со стохастическими процентными ставками рассматриваются в Amin and Jarrow (1991).

Как ни парадоксально, существует масса научных работ, в которых авторы пытаются точно оценивать американские опционы, несмотря на неточность параметров, влияющих на их стоимость.

Европейские опционы и в настоящее время являются стандартом для валютного рынка, т. к. их проще оценивать и легче управлять рисками. Например, на Чикагской товарной бирже (CME) опционы на все валютные пары являются европейскими.

19 октября 1987 г. («черный понедельник») индекс Doe Jones Industrial Average упал на 508 пунктов (22,61 %), что стало крупнейшим однодневным падением в процентах за всю его историю.

Имеется в виду книга опционов (option book) маркетмейкера, которая представляет собой текущий опционный портфель по большому количеству позиций в разных страйках и датах экспирации.

Волатильность ряда случайных величин (таких, как цены) не является постоянной, а изменяется во времени. Волатильность волатильности отражает эти изменения.

В России такие опционы в настоящее время представлены на срочном рынке Московской биржи.

В 2014 г. после серии поглощений LIFFE стала частью Intercontinental Exchange (ICE) и сейчас переименована в ICE Futures Europe.

В настоящее время на всех фьючерсных биржах реализованы электронные торги.

Такие результаты дает простое применение леммы Ито.

По общепринятому правилу за ставку r в этой книге принимается непрерывно начисляемая ставка по облигации с нулевым купоном.

В настоящее время на CME котируется валютный фьючерс на EUR/USD (в одном фьючерсе 125 000 евро).

Хотя евродоллары котируются как 100 – доходность для всех аналитических целей (например, для расчета волатильности и корреляции), мы используем производную доходность в качестве переменной.

Иногда это различие бывает нелогичным – некоторые инструменты и рынки могут представлять больше опасности в отношении дополнительных рисков, чем с точки зрения их первичных экспозиций.

Дрифт цены базового актива или его ожидаемая доходность.

Модель Хита–Джарроу–Мортона (HJM), которая используется для построения временно́й структуры доходности процентных ставок.

См. Durett (1991).

Семинар Пайпера, О'Коннела, прошедший в Чикаго 4 декабря 1995 г. Примечательным было то, что многие ветераны биржевой торговли опасались плохого распределения настолько, что отказывались использовать опционы пут. Подобные фобии – это часть «набора для выживания» трейдера.

Опцион, у которого цена страйк может быть определена покупателем в любой день до даты истечения. После определения цены страйк опцион становится ванильным. – Прим. пер.

Более глубокий анализ показывает, что здесь должна присутствовать теневая гамма и теневая дельта, которые будут рассматриваться далее в этой книге.

Экзотический опцион с двумя барьерами. Предполагает получение выплаты внутри диапазона (верхний и нижний барьеры). – Прим. пер.

Если страйки этих опционов находятся вне денег.

Контракт, прибыль/убыток по которому определяется в зависимости от стоимости инвестиционного портфеля (пакета). Обычно создается на портфель акций, фондовых индексов, ETF или валют.

Колл-спред – одновременная покупка и продажа опциона колл в разных страйках (с одной и той же датой экспирации).

Лукбэк-опцион, или опцион с «оглядкой назад», представляет собой контракт, выплата по которому зависит от максимальной или минимальной цены базового актива, наблюдавшейся за период действия опциона. Это пример экзотического опциона с зависимостью от ценового пути.

Включаемые и выключаемые опционы относятся к виду барьерных контрактов, выплата по которым зависит от того, достигнет цена базового актива определенного уровня (барьера) или нет.

Рампа-выплаты (ramp payoffs) – плавное изменение по функции рампа. Например, график выплат по простому ванильному опциону колл или пут.