Квартили и медиана

Здесь первый квартиль Q1 – число, отделяющее первую четверть выборки: 25% значений меньше, а 75% – больше него. Медиана – половина значений больше и половина меньше нее. Третий квартиль Q3 – это отсечка трех четвертей: 75% значений меньше и 25% значений больше него. Межквартильный размах – это расстояние между Q1 и Q3. Или, по-другому, межквартильный размах – это размах половины данных. Причем данных «из центра» распределения.

Медиана является одной из характеристик выборки. Положительное свойство медианы заключается в том, что на нее не оказывает влияние наличие в выборке аномальных значений. Например, в упомянутых примерах с избыточно меркантильным директором небольшого предприятия медиана будет равна тем самым 30 т. р., которые получают не менее 50% сотрудников описанной организации. И даже если директор начнет получать 4 млн р. (не изменив при этом зарплату остальному коллективу), медиана не сдвинется ни на копейку.

Для процентилей, как и для среднего, доступно взвешивание. В этом случае процентиль будет представлять собой величину, ниже которой находится часть выборки, содержащая заданную долю суммы весов. Если, например, речь идет о рудной выборке и взвешивании на длину пробы, то наглядно, например, первый квартиль можно представить себе как границу четверти суммарной длины проб с наименьшими содержаниями.

Еще одной характеристикой, позволяющей получить представление о выборке, является мода. Эта характеристика называется так совершенно заслуженно: мода – это наиболее часто встречаемое значение (т. е. наиболее «модное»). Мода так же, как и медиана, может служить характеристикой среднего, но чаще используется для характеристики выборки, представленной нечисловыми значениями (например, литологической характеристики). Выборка может содержать более одной моды. В этом случае говорят, что выборка полимодальная (мультимодальная).

Одномодальное и полимодальное распределение на гистограмме

Например в выборке 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 модами будут значения 2 и 7. Значение 2 будет называться нижней модой, значение 7 верхней модой. Если два соседних значения встречаются одинаково часто, то мода считается как среднее арифметическое между ними. Например в выборке 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6 модой будет значение 3.5 (три целых пять десятых) поскольку 3 и 4 находятся рядом и встречаются одинаково часто. На гистограмме значениям моды соответствует вершина графика (при одномодальном распределении) или несколько вершин графика (при полимодальном распределении).

Кроме «точечных» характеристик исследуемой величины, также полезно знать и о степени отклонения значений исследуемой величины от среднего, а также «направлении» отклонения.

Формула отклонения значений от среднего

В результате этой операции будет получена новая величина, которая характеризует величину отклонения выборочного значения от среднего для каждого члена выборки. И значений этого отклонения – ровно столько же, сколько значений в выборке (отклонение рассчитано для каждого выборочного значения). Так же нам хочется понять, каково это отклонение в среднем, и хочется взять и усреднить полученные значения. Но в данном случае проблема заключается в том, что расчет среднего арифметического из значений отклонения даст 0. Просто по причине того, что среднее – это значение, «равноудаленное» от всех значений выборки. Выше было указано, что одно из свойств среднего – это то, что сумма отклонений всех выборочных значений от среднего равно 0. Из сложившегося неудобного положения можно найти два выхода: