Этот подход особенно полезен для реализации систем вывода типов в языках программирования, таких как наш, где требуется автоматическое определение типов выражений и переменных.
Из множества уравнений E выбирается одно уравнение. Если уравнение имеет форму X = t, где переменная X не появляется в других уравнениях множества E, оно не выбирается. Если множество E состоит из уравнений вида:
X1 = r1, X2 = r2, …, Xm = rm
и переменные X1, X2, …, Xm не появляются в терминах r1, r2, …, rm, то унификация завершена успешно.
Выбираем уравнение и выполняем следующие шаги:
· Если уравнение имеет форму f (l1, …, lk) = f (m1, …, mk), то оно удаляется из множества E, а уравнения l1 = m1, …, lk = mk добавляются в множество E.
· Если уравнение имеет форму f (l1, …, lk) = g (m1, …, mk), и f и g различны, то алгоритм завершится неудачей.
· Если уравнение имеет форму X = X, то оно удаляется из множества E.
· Если уравнение имеет форму X = t, и термин t не содержит переменной X, и X не появляется в другом уравнении, то применяется замена [t/X] ко всем остальным уравнениям в E.
· Если уравнение имеет форму X = t, и t содержит переменную X, алгоритм завершится неудачей (это называется проверкой на самопоявление – occurs check).
· Если уравнение имеет форму t = X, и t не является переменной, то уравнение t = X удаляется из множества E, и добавляется уравнение X = t (меняем местами левую и правую часть уравнения).
· Возвращаемся к множеству уравнений E.
Когда алгоритм завершится успешно, множество E будет иметь вид:
X1 = r1, X2 = r2, …, Xm = rm
И эта замена будет являться наиболее общим унификатором для множества уравнений E.
Рассмотрим следующий пример на языке Standard ML:
val x = 1;
val y = x +2;
val z = y * 3;
Пусть X – тип x, Y – тип y, Z – тип z. Тогда:
x = 1 → X = int
y = x +2 → Y = int (так как + требует int для x и 2)
z = y * 3 → Z = int (так как * требует int для y и 3)
Итог: X = int, Y = int, Z = int.
В этой программе тип очевиден только для числа 1, который имеет тип int. Чтобы выполнить вывод типов, заменим неизвестные части на переменные типов. Пусть тип переменной x будет X, тип переменной y – Y, а тип переменной z – Z. Тогда множество типовых уравнений E будет следующим:
E = {X = Y, Y = Z, Z = int}
Теперь проведем унификацию для типов Z и int. Поскольку они совпадают, замена [int/Z] будет применена. После этого множество уравнений будет выглядеть так:
E = {X = Y, Y = int, Z = int}
Далее, рассматривая типы Y и int, мы применяем замену [int/Y]. После применения этой замены множество уравнений становится:
E = {X = int, Y = int, Z = int}
Теперь мы можем сделать вывод, что тип переменной x (то есть X) – это int.
В языке, который мы проектируем, алгоритм Мартелли и Монтанари может быть использован для расширения системы вывода типов, особенно при обработке более сложных выражений, включающих несколько переменных и операций. Хотя наш язык ограничивается типами int и bool, этот подход позволит нам автоматически определять типы переменных и выражений, таких как x+y или x == (1+2), минимизируя необходимость явного указания типов. Такой механизм обеспечит строгую типизации и упростит разработку компилятора, который мы реализуем в последующих главах .
Алгоритм Мартелли и Монтанари, будучи улучшенной версией алгоритма Робинсона, предлагает более эффективное решение для работы с системами уравнений, что делает его ценным инструментом для нашего языка. Для более глубокого изучения можно обратиться к оригинальной работе Мартелли и Монтанари, где описаны детали оптимизации и примеры применения в системах программирования.