Так уравнение «0=0», записывается в (18).

То есть, для уравнения «0=0», число Гёделя равно 243 000 000 и как можно видеть, подобные комбинации вполне можно получить для абсолютно любого уравнения, любой комбинации символов, и она словно бесконечная колода карт, где для любой комбинации существует персональная своя карта. А красота системы ещё заключается в том, что можно не только из уравнения получить число, но и из числа уравнение, для сравнения, можно взять любое число, попросту разложить его на простые множители, и в зависимости от степеней простых чисел получить уравнение.

Разумеется, что в этой колоде будут и истинные, и ложные утверждения, но для их доказательства, необходимо обратиться к аксиомам, которые тоже имеют свои номера Гёделя, к примеру, для аксиомы: «Нет любого числа за любым числом x, равным 0», ведь в этой системе нет 0. Записать такую аксиому можно в (19), а в (20), подставить под него 0, откуда следует, что 1=0.

Именно так можно доказывать любое утверждение в системе Гёделя и конечно, это уравнение имеет своё число Гёделя (21).

Здесь два значения для доказательства и самой аксиомы разные. И как видно значения становятся всё больше и больше, поэтому просто необходимо ввести другие более ёмкие обозначения в виде букв, но получилось так, что для числа g, с уравнением (22):

доказательством стало само число g, то есть эти два числа совпали и получилось, что во всей колоде, нет ни одной карты, которая могла бы доказать такое утверждение. То есть если оно ложно и доказательство тому есть, то было доказано, что доказательства не существует. Это полный тупик, означающий противоречивость системы. Ведь даже если сказать, что это утверждение истинно, получалось бы, что есть утверждения, даже при наличии аксиом, что для них нет доказательств. И значит, система не полна, из этого следовало, что любая математическая система, способная к простым арифметическим вычислениям всегда будет содержать истинные утверждения, у которых нет доказательства.

Интересный тому пример приводится в цитате: «Джим мой враг, оказывается, что он злейший враг самому себе, а враг моего врага – мой друг, значит Джим – мой друг, но, если он враг самому себе, а враг моего друга мой враг, значит Джим – мой враг, но…» и эта череда может продолжаться бесконечно. И к сожалению, ответ на первый вопрос оказался отрицательным.

Если же вернуться ко второму вопросу, то непротиворечивость системы не может доказать сама же система, поэтому она остаётся под большим вопросом. И тогда разрешимость математики становится третьим вопросом, то есть существует ли алгоритм, который используя свои аксиомы точно покажет следующие из него утверждения? Решение вопроса было на стороне Алана Тьюринга в 1936-м году, для этого изобретя современный компьютер, хотя он хотел создать устройства с мощностью для решения задачи любой сложности с простым алгоритмов.

Он пришёл к мысли об устройстве, закреплённый на бесконечной ленте, с квадратными ячейками, содержащими либо 0, либо 1. Аппарат оснащён головкой чтения записи, за раз её считывая, а дальше может выполнить либо записать новое значение, перейти влево или вправо, либо остановиться. При этом остановка – это завершение программы, с выдачей результата. А программа – некоторый определённый алгоритм, указывающий машине, что делать и принимать какое решение, в зависимости от поступающей информации. Эту программу можно передать и на вторую машину Тьюринга, и она исправно будет её исполнять также как и первая, и это позволяет машинам выполнять всё что угодно, от сложения и вычитания, над сложнейшими алгоритмами современности, разрешая третью проблему Гильберта. Когда она останавливается – программа прекращается, а цифры на ленте – ответы.