Наиболее часто на практике наблюдаемый процесс описывается линейной многофакторной моделью:

Y = a + b_>1x_>1 + b_>2 х_>2 +… + b_>kx_>k, (1.37)

гдеx_>1x_>2… x_>k – значения факторов; a, b_>1, b_>2, b_>k – параметры модели.

Что же такое модель? Как ее объяснить? Обычно стараются для наглядности все процессы интерпретировать геометрически. Попробуем подойти к многофакторной модели именно с такой позиции.

Совершенно очевидно, что однофакторный процесс я вляется частным случаем многофакторного уравнения. Модели Y = f (?) представляют собой множество кривых различного рода на плоскости. Если рассматривать модель вида Y = a + bx, то это будет множество прямых на плоскости. Внося в рассмотрение еще один фактор, мы получаем уравнение вида Y = f (x_>1, x_>2) или для линейной модели: Y = a + b_>1x_>1 + b_>2x_>2. Это уже будет множество положений плоскости в трехмерном пространстве. Для трех факторов мы уже не можем дать геометрического толкования модели. Однако в целях обобщения можно считать, что линейная модель Y = a + b_>1 x_>1 + b_>2x_>2 +...b_>kx_>k представляет собой «гиперплоскость» в (k + 1) – мерном пространстве.

Рекомендуется всегда предварительно изучить форму и степень связи между результативным и всеми выбранными факторами попарно. Если все попарные связи линейны или близки к линейным, то есть все основания полагать, что и множественная связь будет линейной.

Схема корреляционно-регрессионного анализа подразумевает следующие шаги:

1) определение связи между изучаемыми признаками;

2) формирование уравнения регрессии;

3) расчет показателей связи.

Чтобы отобрать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак, необходимо произвести группировку по нему. Из всех факторов необходимо отобрать те, которые наиболее связаны с результативным признаком.

Так, например, при изучении влияния основных экономических факторов на себестоимость молока необходимо произвести группировку хозяйств по себестоимости 1 ц молока, взяв в качестве факторных признаков:

а) уровень кормления;

б) стоимость 1 ц кормовых единиц (корм. ед.);

в) уровень оплаты труда;

г) уровень специализации хозяйств на производстве молока и т. п.

Для установления формы связи необходимо построить графики попарной зависимости выбранных факторов с результативным признаком (в нашем случае это себестоимость). В случае прямолинейной зависимости или близкой к таковой между всеми факторами и результатом следует использовать уравнение регрессии линейного типа:

Y=a+b_>1x_>1 + b_>2 x_>2 + „. + b_>kx_>k,

где x_>1 x_>2… x_>k – выбранные факторы; b_>1 b_>2 … b_>k – коэффициенты регрессии, определяющие степень среднего изменения значений зависимой переменной Y при изменении фактора на единицу, но при условии, что остальные факторы, включенные в уравнение, остаются постоянными.

В основе определения параметров уравнений регрессии лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в отыскании таких параметров уравнения связи, при которых сумма квадратов отклонений переменной от ее значений, исчисленных по уравнению:

будет минимальной.

Известный из дифференциального исчисления способ нахождения максимума и минимума функций при помощи производных приводит к системе нормальных уравнений. Количество уравнений, составляющих систему, соответствует числу параметров, подлежащих определению. Так, для двух факторов, а значит, для трех переменных необходимо решить систему из трех уравнений:

А для трех факторов, а значит, четырех неизвестных параметров система нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

Число подлежащих решению уравнений можно уменьшить на одно, если все коэффициенты при неизвестных выразить в отклонениях от средней и разделить обе части каждого уравнения на число наблюдений. В этом случае получим: