σ = σ_>xcos^>2α + σ_>ysin^>2α + τ_>xsin2α

τ = (σ_>x – σ_>y)sin2α – τ_>xcos2α

Преобразуем первое выражение:

σ = ½σ_>x(1 + cos2α) + ½σ_>y(1 – cos2α) + τ_>xsin2α

После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:

τ = (σ_>x – σ_>y)sin2α – τ_>xcos2α

Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:

Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)^>2 + (y – b)^>2 = R^>2.

Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами

Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.

Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ_>1, σ_>2, σ_>3.

Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ_>1 и σ_>2.

σ_>α = σ_>1cos^>2α + σ_>2cos^>2(α + 90°)

τ_>α = 0,5σ_>1sin2α + 0,5σ_>2sin2(α + 90°)

Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:

σ_>α = σ_>1cos^>2α + σ_>2sin^>2α

τ_>α = 0,5(σ_>1 + σ_>2)sin2α

Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.

Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ_>2, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:

τ_>max = 0,5(σ_>1 – σ_>3)

В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.

σ = Ee

Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ_>1, σ_>2, σ_>3. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε_>1, ε_>2, ε_>3. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.

Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε_>1 напряжения σ_>1 в том же направлении, что и σ_>1 из закона Гука равна:

Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ