Испытания на сжатие для пластичных тел в начале дают результаты, похожие на растяжение, но при нарастании нагрузки пластичные тела не разрушаются, а сплющиваются. Поэтому целесообразнее таким испытаниям подвергать хрупкие тела с малым относительным остаточным удлинением при разрыве. Как правило, в таких испытаниях определяется предел прочностиσ>с>в – максимальное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке.
7. Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
Статистически неопределимые задачи – это задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений статистики. Недостающие уравнения составляются исходя из условия совместности деформаций. Для примера рассмотрим систему, представленную на Рис. 2.1.
Рис. 2.1
Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений (F>1 = F>2) – стальные, средний стержень площадью F>3 – медный. Длина среднего стержня – ℓ>3, крайних – ℓ>1 = ℓ>2; допускаемые напряжения для стали – [σ>c], для меди – [σ>м]. Определить размеры поперечных сечений стержней под действием подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.
Рис. 2.2
Точка А в результате деформации переместится в точку А>1. Отрезок АА>1 – удлинение среднего стержня Δℓ>3. Отрезки АВ>2 и АС>2 – удлинения первого стержня ∆ℓ>1 и второго – ∆ℓ>2 соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ>1, ∆ℓ >2, ∆ℓ>3 по закону Гука
Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А>1АВ>2 имеем:
АВ>2 = АА>1cosα или ∆ℓ>1 = ∆ℓ>3cosα
Подставляя значения ∆ℓ>1 и ∆ℓ>3 в это уравнение, получим:
Из треугольника АВД получаем ℓ>3 = ℓ>1cosα, тогда
Подставляем значение N>1 в уравнение равновесия и получаем:
По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F>1 и F>3 из условий:
8. Напряжения, возникающие при изменении температуры
В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t>1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t>2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t>1 до t>2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.
R>A = R>B
Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ