Мамардашвили М. Необходимость себя. – М.: Лабиринт, 1996.

Фромм Э. Психоанализ и этика. – М.: ACT, 1998. С. 57.

Нелинейность здесь возникает в том случае, когда взаимодействуют две независимые компоненты сознания. В терминологии Фрейда это Id и Ego, однако есть гораздо более ранняя формула разделения рассудка и личности – «Я мыслю, следовательно, существую», принадлежащая Декарту. Эта формула обсуждается в статье «Формула современного дуализма» (с. 134–156 настоящего сборника). Упомянутая нелинейность возникает ровно тогда, когда Id и Ego достигают независимости друг от друга. В этом случае в общем континууме сознания, который мы полагаем линейным, возникают две независимые оси координат. Однако из самого определения независимых векторов линейного пространства следует, что связь между ними не может быть линейной, поэтому неизбежно заключение о нелинейности связи между независимыми векторами-сущностями, такими как Id и Ego. (Примечание автора добавлено при издании сборника; далее таковые помечаются инициалами Л.С.)

Задача неразрывно связана с поисками определения психологической «нормы» и ее отличия от патологии. Этот вопрос можно поставить (и решить!) математически, если допустить, что в норме континуум сознания линеен, тогда как любые патологии ведут к нелинейности самого континуума сознания, которые можно выявить объективными опытами типа психологического теста Люшера, равно как и методами прикладной математики. – А.С.

О существовании такого типа инвариантов говорят исследования, выявляющие у общественных систем свойства так называемых безразмерных сетей, о которых идет речь в статье «Модели общества: от хаоса к толерантности» настоящего сборника (с. 260–271).

Сорос Дж. Алхимия финансов. – М.: Республика, 1994.

Недаром именно с редукцией волновой функции такой известный исследователь, как Роджер Пенроуз, в многочисленных книгах, посвященных проблеме сознания, связывает особенности самого таинственного процесса функционирования сознания личности. Однако эта же редукция должна относиться и к общественному сознанию, если оно существует! – Л.С.

Моисеев Н.Н. На пути к нравственному императиву// Экология и жизнь, 1997–1998, № 4(1), с. 1–10.

Эта личностная оценка может как раз содержать в себе понимание линейности или же искривленности внешнего мира. Окружающий мир чаще всего воспринимается как незыблемо устойчивый и потому линейный, однако его проецирование в будущее сразу выявляет проблемы: там, где в перспективе находится горизонт или точка схода лучей, в будущем параллельные прямые пересекаются, показывая грядущие следствия того, что мир искривлен уже сегодня. Искривление среды чаще всего отождествляется с патологией – разрушением экосистем. Однако такое однозначное понимание исключает возможность эволюции, в то же время любой эволюционный процесс требует искривления, отказа от линейности. В этом смысле показательны исследования Д'Арси Томпсона, показывающие, что описать трансформацию большинства биологических видов возможно в искривленной системе координат; при этом черепа собаки и обезьяны преобразуются в человеческий с помощью инвариантного преобразования координат! – А. С.

См. Горшков В.Г., Кондратьев К.Я, Лосев КС. Если взять в союзники мудрость матери-природы// Вестник РАН, 1996, т. 66, № 2; Горшков В.Г., Кондратьев К.Я., Лосев КС. Природная биологическая регуляция окружающей среды// Изв. Русского географического общества, 1994, вып. 6, с. 17; Горшков В.Г. Энергетика биосферы и устойчивость состояния окружающей среды// Итоги науки и техники. Сер. «Теоретические и общие вопросы географии». – М., ВИНИТИ, 1990, т. 7.

См. первую статью настоящего сборника.

Фромм Э. Психоанализ и этика. – М., 1998. С. 361.

См. Данилов-Данилъян В.И. К вопросу о коэволюции природы и общества// Экология и жизнь, 1998, № 2, с. 18–23; Моисеев Н.Н. Еще раз о проблеме коэволюции. Там же, с. 24–28.

Происходящее во сне также нельзя назвать временем информационного бездействия, так как в это время происходит именно внутренняя работа с информацией при «отключенных» внешних каналах ее поступления.

Здесь может «работать» квантовый механизм, или блочный принцип эволюции – когда узор становится слишком «тесным», очередной блок просто не помещается в имеющийся «зазор» между элементами, заданный как расщепление «разрешенной» зоны эволюции уровня, и эволюционный процесс вынужденно «перескакивает» в новые, более просторные для «оперирования блоками» области.

Во всяком случае, здесь есть место для экстремального принципа, аналогичного правилу максимума, установленному Р. Макартуром для сообщества конкурирующих за жизненное пространство видов: сообщество эволюционирует к состоянию с максимально плотной упаковкой видов, причем в процессе эволюции плотность упаковки всегда возрастает, достигая в равновесном состоянии максимально возможного значения для данной среды.

Северцов А.Н. Морфологические закономерности эволюции. – М., 1939.

Заметим, что операция свертки активно используется в математике для преобразований понижения валентности тензоров, в квантовой механике – для проведения «редукции» бесконечномерной волновой функции к условиям опыта с помощью преобразования Фурье, а в экономике – для агрегирования задач с множеством участников к виду взаимодействия немногих «свернутых» экономических агентов.

Дарвин Ч. Происхождение видов путем естественного отбора, глава IV «О степени, до которой имеет тенденцию достигать организация». (СПб.: Наука, 1991.)

Это отсутствие связи внутреннего и внешнего миров служит сюжетом во многих пьесах Шекспира, в которых, видимо, и зародились крылатые слова о невидимой руке, управляющей действиями человека; именно о руке «кровавой и незримой» идет речь в монологе Макбета: «Приди, слепящий мрак, / И нежный взор благому дню укутай, / Чтобы рукой кровавой и незримой / Порвать в клочки мучительную запись, / Меня гнетущую». – А.С.

Истоки войн. Переписка Эйнштейна и Фрейда// Экология и жизнь, 2003, № 5.

См. Флоренский П.А. Статьи и исследования по истории и философии искусства и археологии. – М.: Мысль, 2000.

Возможно, в пользу этого предположения могут быть интерпретированы результаты опытов Корнхубера и Либета по измерению отрезка времени между «мыслью» и действием. Мысль фиксировали как всплеск на энцефалограмме и измеряли время до движения, о котором думал подопытный (подробнее см. Пенроуз Р. Тени разума. – М., 2005, с. 587–589). Время оказывалось неправдоподобно большим – от секунды до полутора секунд, т. е. в десятки раз больше, чем время реакции. Столь же велико оказалось время осознанной реакции на раздражение кожи, тогда как скорость, с которой непроизвольно дергается нога при ударе молоточка психоневролога по колену, в десятки раз меньше. В то же время сами испытуемые не чувствовали этой десятикратной задержки при «вмешательстве» сознания – по субъективным ощущениям промежутка практически не было. Это можно интерпретировать таким образом, что попадание сигнала в глубины сознания отличается очень высоким замедлением, т. е. вмешательство сознания увеличивает «релятивистские» свойства сигнала, создает «линию задержки». – А.С.

Вильгельм Оствальд, удостоенный в 1909 году Нобелевской премии за работы в области катализа, полагал, что катализатор – это средство изменения меры времени химической реакции. В присутствии катализатора причиной ускорения реакции часто становится кинетический сдвиг в сторону протекания промежуточных реакций, которые могут идти в «обход» энергетического барьера прямой реакции. – А.С.

См. Гальперин П.Я. Инстинкт и мораль// Экология и жизнь, 2002, № 5.

Из теории гамильтоновых систем известно, что для того чтобы в системе реализовался динамический хаос, требуются определенные ограничения движения, если же они не действуют, начинается разбегание траекторий и расширение – в ту сторону, где это оказывается возможно. И это не только и не столько инфляция, сопровождающая любое кризисное явление (например взрыв), но направленное изменение – эволюция системы. – А.С.

Речь идет о том, что Раушенбах стремился наглядно показать, что логика образования понятия Троицы и логика образования вектора из его проекций на три оси координат – одна и та же. Он проанализировал шесть необходимых свойств Троицы, выделенных в основном догмате церкви (Триединость, Единосущность, Нераздельность, Соприсущность, Спецефичность, Взаимодействие), и показал, что все эти определения можно отнести к получению вектора из его ортогонального разложения на три оси координат. Надо сказать, что, несмотря на общность логики объединения, объекты веры остались объектами ментального мира и потому никак не соотносятся с «грубым материализмом» математики. Поэтому прорыва математики к ментальности пока не наметилось, тем более что такой прорыв вызывает у многих серьезные опасения, связанные с неприкосновенностью и суверенностью личности. Для самих же математиков трехмерный мир – лишь частный случай среди многомерных миров и потому мало чем выделен среди остальных.

Тем не менее наука имеет определенные успехи в исследовании восприятий человека, которые служат «входом» в ментальный мир, и здесь очень ярко проявляется ограниченность числа измерений. Например, модель восприятия цвета опирается на три основных цвета, и объяснение этого – в устройстве зрения человека. Работа с цветом основана на построении треугольника Юнга: вводится тройка векторов ощущений и проводится плоскость, отсекающая равные величины на этих осях. Так осуществляется процедура цветоделения, необходимая в полиграфии. При этом несмотря на то, что базовым остается разделение на три цвета, существуют разные модели цветоделения: используется как трехмерная модель – RGB (аббревиатура английских слов Red, Green, Blue – красный, зеленый, синий), так и четырехмерная – CMYK (Cyan, Magenta, Yellow, Key colour), расширенная измерением черного цвета.

** Поэтому становится понятной и позиция православия, где все усилия направлены на сохранение неизменности «базиса». – А.С.

Здесь и далее Н.Н. Моисеев цитируется по его книге «Универсум. Информация. Общество» (М., 2001).

Любой кризис объективно является «решением» разнородных и разнонаправленных устремлений, а субъективно воспринимается как «явление лика истины». Субъективно этот лик может быть ужасен. В объективном описании тот же самый момент «зашкаливания» называют асимптотой, разрывом определенности. Заметим, что именно анализу неопределенностей наука обязана многими своими успехами: в математике при раскрытии неопределенностей родилось дифференцирование, в физике открытие соотношения неопределенностей сформировало квантовую механику. Важным примером аналитики кризисов являются особые точки динамических систем – и это именно те точки, где решение динамических уравнений теряет единственность. В этих точках лежат центры притяжения и отталкивания, формируются как устойчивые, так и неустойчивые состояния, рождаются бифуркации. И оказывается, что существуют различные области состояний систем – например, в одних областях возможны только колебания, тогда как в других – только вращения. Внутри каждой области состояний поведение систем обратимо, однако переход через границу области рождает необратимость. Найдены объекты с необратимым поведением, которые «прыгают» или «туннелируют» между областями – это странные аттракторы. По всей видимости, мир объективный и мир ментальный можно мыслить как области различных состояний движения – в одном состоянии движение «реализовано» на материальных частицах, тогда как в другом движутся нервные импульсы; при этом, однако, существуют такие линии, где эти миры соприкасаются. Точки касания служат «границей реальности», распознаваемой как пересечение объективных и субъективных истин. На мой взгляд, перед лицом многообразных кризисов, грозящих человечеству, изучение именно этих состояний, отвечающих необратимому процессу – формированию реальности, представляется наиболее перспективным. – А. С.

Ответственность подразумевает библейское: «не делай другим того, что не желаешь себе», тогда как управление связано с оптимизацией и произволом при выборе критериев. Можно сказать, что ответственность есть особый, выделенный тип управления, как некоторые типы движений выделены среди остальных. Это управление характеризуется самоприменимостью, и выделейность его – в соразмерности действия на разных уровнях иерархии, когда исполнение команды обязательно, как для приказывающего, так и для исполняющего. Тем самым управление реализуется как некое преобразование подобия; хотя можно назвать его и «преобразованием справедливости». И «золотой век» можно трактовать как ситуацию, когда власть была одинаково справедлива и к людям, и к природе. Самоприменимость, или самоподобие, является одной из характерных черт фрактальных преобразований, поэтому «справедливость» можно представить как фрактальное соответствие между системами различной размерности – такими как природа и общество.

Об этом подробнее см. в статье «Феномен свободы» настоящего сборника (с. 88-103).-Л.С.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. – М.: Наука, 1967. T. 4. С. 570.

Понимая совместность как подобие, можно моделью коэволюции сделать линейное пространство. Тогда все множество векторов, наполняющих пространство линейной системы, можно выразить через малое число измерений этого пространства – независимых векторов. – А.С.

Милн, опираясь на собственную концепцию «кинематической теории относительности», которая является альтернативой общей теории относительности, создал модель Вселенной, построенную на кинематическом подходе к явлению разбегания галактик. Систематическое изложение теории дано им в работах «Относительность, гравитация и строение мира» (1935), «Кинематическая теория относительности» (1948). —А.С.

Здесь выражается сомнение не в эффективности принципа соотвествия Бора, который утверждает, что новая физическая теория должна в некотором пределе воспроизводить результаты старой, а в том, что картина мира Эйнштейна более прогрессивна, чем картина мира Ньютона, – просто они использовали различные подходы, каждый из которых не потерял своей эффективности от существования другого.

«Основная задача тензорного исчисления заключается в том, чтобы научиться отделять результаты, относящиеся к самим геометрическим объектам, от того, что привнесено случайным выбором координатной системы». (Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. – М.: Наука, 1972.)

Этот прием ведет свое начало, по-видимому, от равновесной термодинамики Гиббса и его представлений о равновесии фаз. Значительно позже возникла кинетическая трактовка локального равновесия как постоянства отношения кинетических коэффициентов – скоростей «встречных» реакций. Одна и та же реакция записывается как две – одна идет в прямом направлении, другая – в обратном. Возникают образы двух «долин» – долины исходных веществ и долины продуктов, разделенных «перевалом». При этом равновесие есть «рабочая точка», где реакции удается перейти «перевал», тогда как в «долинах» устанавливаются стационарные значения концентраций исходных веществ и продуктов. Представление о встречных реакциях введено в химии Гилбертом Льюисом в 1930-х годах и с тех пор прочно вошло в обиход самых разных наук. Представление о локальном равновесии внутри «глобально» неравновесных систем существует и в качестве самостоятельного «эвристического» принципа, например, в неравновесной термодинамике. Это представление распространяется и на экономику, где подводят балансы потоков товаров и денег, опираясь на предположение равновесности среды общества на момент составления баланса; в рыночной теории равновесие достигается за счет «невидимой руки рынка». Однако предположение о локальной плоскостности (евклидовости) искривленного пространства выделено как базовая аксиома лишь при построении Римановых пространств. У Эйнштейна вся формулировка ОТО осуществляется локально – в малой области, т. е. там, где можно считать параметры поля (тяготения) неизменными, тогда кривизна (пространства-времени) заменяется постоянной силой, создающей ускорение «по Ньютону»; тем самым используется концепция Римана, основанная на предположении, что локально искривленное пространство сохраняет евклидовость – т. е. неотличимо от неискривленного, «плоского». В теории динамических систем, как правило, именно предположением о локальном равновесии и локальной линейности оправдывают использование гамильтоновых систем для анализа неравновесных процессов в нелинейных системах. Но роль топологии локального равновесия как модели «плоской арены» для различных процессов до сих пор теоретически не осмыслена. – А. С.