Евкклид в своей геометрии свел природу к чистым и симметричным объектам: точка, одномерная линия, двумерная плоскость, трехмерное тело. Среди тел имеется ряд чисто симметричных форм, таких как конусы, цилиндры, блоки. Ни один из этих объектов не имеет в себе отверстий и внешних неровностей. У каждого правильная гладкая форма. Для греков симметрия и сплошность были признаками совершенства. Только совершенство предполагалось в природе.

В реальности природа отвергает симметрию так же, как она не любит равновесия, – это в некотором смысле эквивалентные состояния. Природные объекты огрубленных форм не являются разновидностями чистых евклидовых структур. В результате создание компьютерных изображений гор при помощи евклидовой геометрии представляет собой устрашающую задачу, которая требует множество строк программного кода и большого количества обращений к датчику случайных чисел. С помощью же фрактальной геометрии гора может быть создана на экране дисплея посредством всего лишь нескольких повторно применяемых правил.

Бенуа Мандельбротможет быть назван Евклидом фрактальной геометрии. Он собрал наблюдения математиков, которые изучали «монстров», т. е. объекты, не определимые на путях евклидовой геометрии. В итоге обобщения этих математических работ и своего собственного озарения он создал геометрию природы, которая преуспела в описаниях асимметричности и невнятных форм. Б. Мандельброт сказал: «Горы не являются конусами, и облака – не сферы».

Так что же такое фрактал? Это объект, в котором части некоторым образом подобны целому, т. е. отдельные составные части самоподобны. Один из самых наглядных естественных фракталов – это дерево. Древесные ветви следуют так называемому скейлин-гу, т. е. каждое ответвление со своими собственными ветвями подобно всему дереву целиком в качественном смысле.

Не имея непосредственного отношения к реальности, математика не только описывает эту реальность, но и позволяет делать новые интересные и неожиданные выводы о реальности из теории, которая представлена в математической форме.

В истории науки существует множество различных парадигм. В современном понимании парадигма (от греч. paradeigma – «пример, образец») – это определенные правила описания, объяснения и понимания мира.

Понятие «парадигма» введено Г. Бергманом и широко использовано Т. Куном для обозначения ведущих представлений и методов получения новых знаний. Оно часто заменяется понятием «картина мира».

Определенная система убеждений существует в любой исследовательской области. Приверженность к парадигмам отличает любое серьезное исследование. Без некоторого набора априорных убеждений, фундаментальных выводов и установок научная деятельность вообще невозможна.

Парадигмы несут не только познавательный, но и нормативный смысл: они устанавливают допустимые методы и набор стандартных решений. Но в науке возможно коренное переопределение парадигм.

Одной из наиболее авторитетных парадигм является объяснение мира исходя из принципа атомизма, или элементарности. Суть данного принципа состоит в утверждении того, что целое понимается как сумма частей, элементов.

Такое понимание обнаруживается во многих науках. На основе парадигмы атомизма основана классическая механика, учение об электричестве и магнетизме, кинетическая теория газов, неорганическая химия, клеточная теория живых организмов. Принцип элементарности реализуется и в социальных теориях (например, в понимании общества как совокупности индивидов).