До недавнего времени казначейские ноты и облигации котировались на основе >1/>32 процентного пункта. Таким образом, инвесторы рынка казначейских ценных бумаг вычисляли изменение доходности, соответствующее изменению цены на >1/>32. Наши две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на >1/>32 демонстрируют следующее изменение доходности:
Корпоративные и муниципальные облигации, речь о которых пойдет в главах 6 и 7, торгуются с минимальным изменением цены, равным >1/>8 процентного пункта. Таким образом, инвесторы этих рынков вычисляют изменение доходности, соответствующее изменению доходности на >1/>8. Две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на >1/>8 демонстрируют следующие доходности:
Дюрация
В главе 2 мы писали о том, почему цена облигации, не имеющей встроенных опционов, может быть выражена в виде формулы[18]:
где:
P – цена облигации;
C – полугодовая купонная выплата (в долларах);
y – половина доходности к погашению или требуемой доходности;
n – число полугодовых периодов (число лет × 2);
M – номинальная стоимость (в долларах).
Для выяснения примерного изменения цены при небольшом изменении доходности следует вычислить первую производную выражения (4.1) по требуемой доходности:
Преобразовав формулу (4.2), получаем:
Выражение в скобках – это средневзвешенный срок до погашения денежных потоков облигации (взвешивание производится по приведенной стоимости денежного потока).
Формула (4.3) обозначает приблизительное долларовое изменение цены при небольшом изменении требуемой доходности. Деление обеих частей выражения (4.3) на Р позволяет найти значение примерного процентного изменения:
Выражение в скобках, деленное на цену (в нашем случае умноженное на 1/Р), принято называть дюрацией Маколея[19], таким образом:
Подставив величину дюрации Маколея в формулу (4.4) для вычисления примерных процентных изменений цены, получим:
Отношение дюрации Маколея к 1 + у получило название модифицированной дюрации. Таким образом:
Подставив выражение (4.7) в формулу (4.6), получим:
Из формулы (4.8) видно, что модифицированная дюрация связана с примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Поскольку для всех облигаций без встроенных опционов модифицированная дюрация является положительным числом, выражение (4.8) устанавливает обратную зависимость между модифицированной дюрацией и примерным процентным изменением цены при данном изменении доходности. Это закономерный результат: как известно, фундаментальный принцип движения цен на облигации гласит, что они изменяются в направлении, противоположном направлению движения процентных ставок.
В табл. 4.4 и 4.5 приводятся данные о дюрациях Маколея и модифицированных дюрациях двух пятилетних купонных облигаций. Дюрации выражены в количестве периодов (а не лет). Таким образом, мы имеем дело с полугодовой дюрацией: денежные потоки данных облигаций поступают раз в полгода. Для получения значений годовой дюрации, приведенные значения следует поделить на 2 (см. примечания к табл. 4.4 и 4.5). Заметим, что при поступлении денежного потока m раз в году дюрация, выраженная в годах, уточняется путем деления на m, т. е.:
Дюрация Маколея в годах и модифицированная дюрация для шести гипотетических облигаций равны: