«Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа23 (x, y, z) следующая:

где

была использована итерация z → z²+ c , где z и c – трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал» [59].

Поразительно, что простая квадратичная функция комплексных чисел при множестве итераций создает невероятную сложность структуры и потрясающую красоту форм. Моделированием через трехмерные комплексные числа можно получить сложнейшую форму трехмерного фрактала «оболочка Мандельброта». Сочетание простоты алгоритмов и сложности самоподобия форм рождает целые миры удивительной красоты. В основании геометрического фрактала Мандельброта лежит простой алгоритм, бесконечно повторяющийся и создающий сложные самоподобные дочерние объекты, подчиненные степенным законам. Трудно не согласиться с Платоном о гениальности решения Создателя, где сочетание простоты и сложности структуры мироздания он заложил в основания развития всех живых существ, подобных ему, повторяющийся и создающий множество самоподобных Ему бесконечных структур. Таким образом, создан метод описания сложных систем, включающий в себя качество (геометрия), количество элементов и систему организации (связей) сложных структур. Это дает возможность анализировать и совершенствовать сложные объекты, системы для решения проблем их устойчивого развития.

И наиболее вероятным событием во Вселенной в представлении Платона-Сократа являются простые идеи подобия с развитием, превращаясь в сложные мультифрактальные самоподобные мегаобъекты: галактики, черные дыры, квазары, звездные и планетарные системы. В Космосе и в природе наблюдается беспрецедентная динамика и масштабирование фрактальных структур с сохранением инвариантности подобия. Профессор Д. И. Иудин из Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского считает, что существует два аспекта «масштабной инвариантности24 дополняющих друг друга»:

1. Самоподобие многокомпонентных иерархических структур, требующих для реализации своего самоподобия «широкого диапазона пространственно-временных масштабов»;

2. Простая степенная функция, где всего лишь один показатель степени «характеризует сложную итерационную процедуру рождения и организации фрактальной структуры – восхождения от малого к большому, от простого к сложному» [34, С. 6].

У геометрических фракталов обобщенно можно выделить несколько основных свойств:

1. Дробность, «ломанность» линий (не дифференцируемость),

2. Фрактальная размерность – один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве,

3. Самоподобие при масштабировании (масштабная инвариантность),

4. Сочетание простоты и сложности в одном объекте. Развитие простых алгоритмов через множественное повторение (итераций) к получению фрактальной структуры большой сложности. Вся структура развития фрактала подчинена степенным законам на всем протяжении от микроуровней до макроуровня.

Не думаю, что может возникнуть сложность при переходе от геометрических (алгебраических) фракталов к стохастическим фракталам и к их природным аналогам в будущем. Этот вопрос относится к развитию фрактальной геометрии как науки, способной в будущем раскрыть истину о математическом порядке (отнюдь не хаоса) окружающего нас мира природы и Космоса. Выявив законы образования фрактала, становится возможным изучать (описывать) целое по частям, определять динамику системы, осуществлять моделирование, близкое к реальности.