Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, где α – угол наклона касательной.
Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует
Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.
Значение производной функции y = f(x) в точке x>0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x>0:
f>'(x) = k.
Если производная функции y = f(x) в точке x>0 равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x>0, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то
f>'(x>0 ) = tg α.
Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x>1 и x>2 из этого интервала таких, что x>1 < x>2, справедливо неравенство f(x>1) < f(x>2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x>1 и x>2 из этого интервала таких, что x>1 < x>2, справедливо неравенство f(x>1) > f(x>2).
Точка x>max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x>max). Значение y>max = f(x>max) называется максимумом этой функции.
Точка x>min области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x>min). Значение y>max = f(x>min) называется минимумом этой функции.
7.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Условие
На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.
1) 0,75
2) –0,2
3) 3
4) –5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Данное задание можно решить наглядно, найдя значение производной. Затем учесть, что оно равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то мы можем достроить все прямые до прямоугольного треугольника и найти тангенс угла наклона:
Так тангенс прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему, найдем поочерёдно значение k для каждой из прямых:
А) k = 3/1 = 3, так как 45° < α < 90°, k < –1, следовательно k = 3
Б) k = 5/1 = 5, так как 90° < α < 135°, k < –1, следовательно k = –5
В) k = 3/3 = 0,75, так как 0° < α < 45°, k < –1, следовательно k = 0,75
Г) k = 1/5 = 0,2, так как 135° < α < 180°, – 1 < k < 0, следовательно k = –0,2
Заполним таблицу:
Ответ: 3412.
Условие
На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.