Подходя к Полинезии, «Кон-Тики» пытался вначале достичь острова Фату-Хива – того самого, на котором много лет назад зародился у Хейердала интерес к этнографии. Пользуясь попутным ветром, в течение трех суток мореплаватели плыли на северо-запад, надеясь добраться до этого маленького, гористого островка, заселенного людьми, которые помнят легенды о боге Кон-Тики. Увы, ветер повернул на север, решив, таким образом, выбор пути. Гонимый ветром плот поворачивал все более влево на юг, пока не вышел за пределы экваториального течения, попав в зону непостоянных течений. Вдобавок ветер совсем затих, движение плота в течение целых суток сводилось лишь к дрейфу. Однако просьбы и угрозы экипажа были, очевидно, услышаны, и на следующий день «Кон-Тики» снова двинулся вперед.

Приближался финал большого перехода. Северная часть архипелага Туамоту с каждым днем становилась все ближе, и оттуда прилетали стаи морских птиц, теперь постоянно сопровождавших плот. Вскоре экипаж мог наблюдать на горизонте облака – вестники далекой суши. Подобные столбу дыма, эти облака возникают под влиянием солнечных лучей, которые разогревают землю и вызывают движение вверх потоков теплого, влажного воздуха, конденсирующегося затем в холодных слоях атмосферы.

Было принято решение направить плот к одному из таких облаков, лежащему по курсу плота. После 92 суток плавания, на рассвете 30 июля, Герман спустился с мачты по веревочному трапу, извещая товарищей о том, что видит сушу. В красноватом свете заходящего солнца из воды вставали контуры острова. К сожалению, ветер не позволял держать курс на него, плот же ночью сбился с курса из-за постоянно меняющихся течений. Несмотря на это, были предприняты попытки добраться до лежащего всего в нескольких милях острова. По вычислениям Эрика, это был остров Пука-Пука, форпост архипелага. «Кон-Тики» прошел так близко от него, что экипажу видны были растущие вдоль пляжа деревья. (Как пишет Хейердал, наконец было получено неопровержимое доказательство, что плот действительно двигался на протяжении минувших трех месяцев.) Над побережьем поднялся столб дыма – жители острова заметили плот и, не отдавая себе отчета в том, насколько ограничены его возможности маневрирования, сигнализировали о своем присутствии. Около восьми часов утра остров стал исчезать за кормой, и только ветер приносил еще с него запах листьев и дыма.

На следующее утро снова были замечены два облака над горизонтом. Скорее всего, они указывали местонахождение островов Фангахина и Ангатау. Курс был взят на лежавший с подветренного борта Ангатау. Плот плыл под легким ветром, а мореплаватели строили планы, связанные со скорым окончанием путешествия. Погода стояла прекрасная, рулевое весло было укреплено так, что «Кон-Тики» в течение трех суток плыл самоуправляемо, в потоке благоприятного течения.

4 июля опять была замечена суша, на этот раз точно по курсу. Когда взошло солнце и контуры острова стали хорошо видны, были подняты флаги, придавшие плоту официальный вид. После завтрака взялись за рулевое весло, стараясь найти самое безопасное место для причаливания. Вскоре уже можно было различить отдельные деревья, вырисовывающиеся на фоне леса. Также ясно была видна полоса прибоя, где океанские волны с грохотом разбивались о риф, массив которого заслонял остров с востока. По мере того как плот приближался к рифу, все явственнее становились зловещие буруны, окаймлявшие почти весь остров. Плот направили к его южной части, где кончалась полоса кипящей воды. Это направление давало надежду, что «Кон-Тики» сможет войти в мелководье, где найдет подходящее место для якорной стоянки.