Цифра в названии радиостанции KCSM Jazz 91,1 – частота (в миллионах циклов в секунду) радиоволны, которую использует эта станция. А к каждой электрической розетке подведен переменный ток с частотой волны 60 (в США) или 50 (в России и большинстве стран Европы) циклов в секунду.
Волны от секундной, минутной и часовой стрелок отличаются не только частотой, но и амплитудой. Я нарисовал минутную стрелку чуть короче, чем секундную, поэтому гребни ее волн будут немного ниже. Поскольку максимальная высота гребня волны равна ее амплитуде, амплитуда волн минутной стрелки ниже, чем у волн секундной. Часовая стрелка еще короче, поэтому амплитуда ее волны – самая низкая из трех.
Для теории Фурье волна может иметь любую частоту и любую амплитуду, если это синусоидальная волна – развертка окружности. На примере часов мы рассмотрели создание трех таких волн, а рисунок 1.2 показывает еще три изящных по форме синусоидальных волны, отличающихся друг от друга только количеством колебаний и высотой, то есть частотой и амплитудой. Все они имеют одинаковую форму точно так же, например, как и все треугольники. Фигура, чтобы мы назвали ее треугольником, должна иметь три стороны, а волне, чтобы называться волной, достаточно быть разверткой окружности.
Рис. 1.2
Отметим еще одну особенность волн на этом рисунке: по левому краю изображения выровнены разные точки их цикла. Верхняя волна начинается с пика, средняя – с максимального спада, а нижняя – с точки между ними. Если вы сдвинете любую из них влево или вправо, ее частота и амплитуда останутся прежними, но изменится положение относительно других волн. Это важно, потому что для вычислений Фурье нам придется складывать волны. Мы получим разные результаты, если волны будут выровнены по-разному.
Для описания положения волны мы используем слово фаза. Фазы луны отлично описывают, на каком этапе цикла находится луна: полнолуние или новолуние, растущая или убывающая луна между ними. Волна циклична, поэтому у нее тоже есть фазы. На левом краю рисунка 1.2 верхняя волна находится в фазе полнолуния, а средняя – новолуния. Нижняя же волна только начинает убывать. Изменение начальной фазы сдвигает всю волну влево или вправо. Но обратите внимание, что если вы переместите ее на полный цикл, то снова получите исходную волну. Их невозможно будет отличить друг от друга. Таким образом, указания одного места в одном цикле – то есть значения фазы – достаточно, чтобы указать положение всей волны. Для целей Фурье волна может находиться в любой фазе.
Теперь мы можем осознать значимость замечательной идеи Фурье: большую часть информации об окружающем мире – включая все, что мы можем видеть или слышать, а также многое другое – можно описать как сумму таких волн, и больше ничего. Частоты Фурье – это частоты волн из такого описания. Их гармония – это музыка мира. Эта идея поражает масштабностью и противоречит нашей бытовой интуиции, поэтому ее сложно понять и принять. Давайте начнем с музыки – знакомой физической реальности, которая поможет доступнее раскрыть глубочайшую идею Фурье.
Звуки
Музыка состоит из волн разных частот – и только из них. Конечно же, их называют звуковыми волнами. Струны скрипки вибрируют с разной частотой; то же самое происходит и с фортепиано. По сравнению с неторопливой секундной стрелкой, вращающейся с частотой один цикл в минуту, любая нота на фортепиано – звуковая волна демонической скорости от колебания струны, вибрирующей с частотой 262 цикла в секунду. Кларнет или флейта звучат на определенных частотах, как и каждая из труб органа. Лирико-колоратурное сопрано поет на более высокой частоте, чем альт, и гораздо выше, чем баритон или бас. Мы говорим, что сопрано поет