Присутствие случайной ошибки в модели регрессии порождено следующими источниками:

1) нерепрезентативность выборки. Модель парной регрессии в большинстве случаев является большим упрощением истинной зависимости между переменными, потому что в модель входит только одна факторная переменная, не способная полностью объяснить вариацию результативной переменной. При этом результативная переменная может быть подвержена влиянию множества других факторных переменных в гораздо большей степени;

2) ошибки, возникающие при измерении данных;

3) неправильная функциональная спецификация модели.

Коэффициент β1, входящий в модельпарной регрессии, называется коэффициентом регрессии. Он характеризует, на сколько в среднем изменится результативная переменная у при условии изменения факторной переменной х на единицу своего измерения. Знак коэффициента регрессии указывает на направление связи между переменными:

1) если β1›0, то связь между изучаемыми переменными (с уменьшением факторной переменной х уменьшается и результативная переменная у, и наоборот);

2) если β1‹0, то связь между изучаемыми переменными (с увеличением факторной переменной х результативная переменная у уменьшается, и наоборот).

Коэффициент β0, входящий в модель парной регрессии, трактуется как среднее значение результативной переменной у при условии, что факторная переменная х равна нулю. Но если факторная переменная не имеет и не может иметь нулевого значения, то подобная трактовка коэффициента β0 не имеет смысла.

Общий вид модели парной регрессии в матричном виде:

Y= X* β+ ε,

где

– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;

– матрица значений факторной переменной размерности n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;

– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1;

– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности n x 1.

Общий вид нормальной (традиционной или классической) линейной модели парной (однофакторной) регрессии (Classical Normal Regression Model):

yi=β0+β1xi+εi,

где yi– результативные переменные,

xi – факторные переменные,

β0, β1 – параметры модели регрессии, подлежащие оцениванию;

εi – случайная ошибка модели регрессии.

При построении нормальной линейной модели парной регрессии учитываются пять условий:

1) факторная переменная xi – неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии εi;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю): Cov(εi,εj)=E(εi,εj)=0 (). Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;

5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).

Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:

Y= X* β+ ε,

где

– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности