Существует еще одна довольно распространенная модель роста – кривая Гомпертца, выведенная еще раньше функции Ферхюльста. Изначально модель была предложена в 1825 году Бенджамином Гомпертцем (1779–1865), британским математиком, для оценки смертности людей (Gompertz, 1825). В ней, как и в логистической функции, имеются три константы, асимптота и фиксированная степень асимметрии, но, как уже отмечалось, логистическая функция имеет точку перегиба точно посередине между двумя асимптотами, и ее кривая радиально симметрична по отношению к этой точке перегиба. В отличие от нее функция Гомпертца дает асимметричную кривую с точкой перегиба на уровне 36,78 (е–1) асимптотического максимума и, следовательно, асимметрична (Tjørve and Tjørve, 2017). Эта кривая подходит лучше, чем логистическая, для моделирования процессов сигмоидального роста, которые замедляются после достижения приблизительно трети от своего максимального значения (Vieira and Hoffmann, 1977).

Более века спустя Винзор (Winsor, 1932, 1) отмечал, что «кривая Гомпертца долго интересовала только статистиков страховых учреждений. Однако в последнее время она используется различными авторами как кривая роста для оценки как биологических, так и экономических феноменов». Но он называл только три области применения: рост веса скота (но только после того как животные достигли около 70 % своей зрелой массы), рост размера раковины двустворчатого моллюска и рост гигантского Тихоокеанского моллюска, – делая вывод, что в силу практически аналогичных свойств ни логистическая кривая, ни кривая Гомпертца не имеют «значительного преимущества друг перед другом в отношении количества явлений, рост которых можно было бы описать с их помощью» (Winsor, 1932, 7).

Но это было до того, как во многих исследованиях было обнаружено, что более старая функция во многих случаях является предпочтительной. К природным явлениям, которые лучше всего описывает функция Гомпертца, относятся такие фундаментальные биохимические процессы, как рост нормальных и злокачественных клеток, кинетика ферментативных реакций и интенсивность фотосинтеза как функция концентрации CO_>2 в атмосфере (Waliszewski and Konarski, 2005). Когда логистическое уравнение стало чаще использоваться для изучения роста организмов, многие исследователи отмечали ограничения функции при воспроизведении наблюдаемого роста животных и растений и ее недостаточную надежность при прогнозировании прироста на основе прошлых показателей. Нгуимке (Nguimkeu, 2014) предлагает простой дифференциальный тест для выбора между моделями Гомпертца и логистического роста.

Основным недостатком кривой логистического роста является ее симметрия: она напоминает колебания маятника, набирающего максимальную скорость в середине траектории. Точка перегиба логистической кривой приходится на 50 % максимального значения, в результате чего схема роста дает симметричную колоколообразную кривую (кривую Гаусса), которая будет рассмотрена в следующем разделе. Многие организмы демонстрируют более быстрые темпы роста на начальных стадиях, и кривые их роста достигают точки перегиба гораздо раньше, чем асимптотического максимума. Аналогично многие процессы распространения (будь то внедрение новых промышленных методов или распространение владения бытовой техникой) следуют асимметричной S-образной траектории.

И поскольку степень асимметрии также зафиксирована в асимметрической функции Гомпертца, многие попытки избавиться от этих недостатков ведут к формулированию нескольких дополнительных моделей роста логистического типа. Цуларис (Tsoularis, 2001) рассмотрел эти производные модели – главные из которых были представлены Берталанффи (von Bertalanffy, 1938), Ричардсом (Richards, 1959), Блумбергом (Blumberg, 1968), Тернером и др. (Turner et al., 1976) и Берчем (Birch, 1999), – а также предложил собственную обобщенную логистическую функцию, из которой можно получить все эти модификации. Они не систематизированы в зависимости от практической ценности: все эти функции принадлежат к одной семье (являясь вариациями на тему S-образного роста), и ни одна из них не превосходит другие сигмоидальные кривые с тремя постоянными по степени пригодности.