Наш обобщенный мультисеточный метод самым прямым и явным образом продемонстрировал то, что мы с Довом ранее уже доказали более абстрактным и косвенным математическим способом: квазикристаллические узоры можно построить для бесконечного числа различных симметрий, которые запрещены для кристаллических решеток. Теперь каждый мог легко убедиться, что число возможных форм вещества из строго ограниченного стало бесконечным. Это был серьезный сдвиг парадигмы.

Другой важной идеей, разработанной несколькими независимыми группами теоретиков, был “метод проекций”. Согласно этому подходу, замощение Пенроуза и другие квазипериодические узоры получаются как проекции, или “тени”, периодически упакованных в высоких размерностях “гиперкубов”, то есть аналогов трехмерных кубов в воображаемых геометриях пространств четырех или более измерений. Большинство людей не могут без специальной тренировки визуально представить себе, как работает этот метод, однако математики и физики находят эту концепцию очень полезной для анализа атомной структуры квазикристаллов и для расчета их дифракционных свойств.

Обобщенный мультисеточный и проекционный методы – это мощные математические инструменты для генерации узоров из ромбических плиток в двух измерениях и из ромбоэдров в трех измерениях. Но у них есть серьезное ограничение: они не дают никакой информации о правилах совмещения. Например, узоры с симметрией 11-го (см. рисунок справа вверху) и 17-го порядка (внизу) оба сгенерированы мультисеточным методом.

Эти чудесные замысловатые узоры составлены из простых ромбов: широких, средних и узких. Но у них нет ни насечек, ни замков, которые не давали бы плиткам организоваться в кристаллический узор.

Так что, если бы вам выдали стопку таких плиток и попросили замостить ими пол без использования в качестве руководства полного изображения узора, у вас мог бы получиться обычный регулярный кристаллический узор, поскольку его проще выложить. У вас также мог бы получиться случайный узор. А вот шанс выложить квазикристаллический рисунок был бы очень мал. Для этого вам понадобилось бы руководствоваться правилами совмещения, помогающими заметить допускаемые при сборке ошибки.

Представьте, что каждый тип плиток в узорах выше заменяется группой атомов. Несмотря на то что строго упорядоченный квазикристаллический порядок возможен, интуитивно очевидно, что при затвердевании жидкости атомы с гораздо большей вероятностью будут организовываться в кристаллический или случайный порядок, если только между атомами не будет взаимодействия, которое проявляется подобно правилам совмещения и препятствует такой организации. Таких конфигураций гораздо больше, чем квазикристаллических, и для их образования требуется гораздо менее тонкая координация.

Именно поэтому мы с Довом тратили поначалу столько сил на демонстрацию того, что для наших широких и узких ромбоэдров можно придумать замки, которые действовали бы как правила совмещения, препятствующие образованию как кристаллического, так и случайного порядка и вынуждающие к формированию квазикристаллической структуры.

Но достаточно ли одних правил совмещения, чтобы объяснить, как образуются квазикристаллы? Ответа на этот вопрос у меня не было. Может быть, нужны какие-то еще свойства, чтобы атомы естественным образом организовались в идеальную квазикристаллическую структуру?

Джош Соколар вызвался поработать со мной над этим сложным вопросом. Он уже проявил свои таланты в нашей предыдущей работе по обобщению мультисеточного подхода на произвольные симметрии, и я был очень рад, что он захотел принять участие в более крупном проекте. Высокий долговязый Джош своим присутствием всегда вызывал ощущение спокойствия и задумчивости, что было довольно неожиданно для такого молодого человека. Я всегда чувствовал, что нахожусь в одном шаге от перевозбуждения и что Джош привносит в наши дискуссии ощущение покоя. Он также обладал исключительной геометрической интуицией, сослужившей нам бесценную службу тогда и вообще на протяжении всего нашего весьма плодотворного и продолжающегося по сей день сотрудничества.