В качестве одного из средств абстрактного моделирования при помощи набора символов и правил их объединения выступает математика. Математика является значительно бо́льшим, чем наука, поскольку она есть, по выражению Н. Бора, язык науки (7). Определяющим признаком каждой конкретной математической дисциплины является некоторый формальный метод, потенциально допускающий различные материальные воплощения, а следовательно, и практические применения. Может ли тот или иной предмет, то или иное явление реального мира быть исследовано с помощью данного математического метода – этот вопрос решается не природой данного предмета или явления, а их формальными структурными свойствами (20).

Каков же предмет исследований математики? Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (30-XX, 37). Н. Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» (9, 251). С этой группой французских математиков можно согласиться. Но откуда берутся эти структуры и какое отношение они имеют к миру действительности?

Если это абстракции некоторых сторон реального мира, то позиция Бурбаки вполне согласуется с точкой зрения Ф. Энгельса. Сами Н. Бурбаки писали, что «…основная проблема состоит во взаимодействии мира экспериментального и мира математического. То, что между материальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь – это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого, и быть может, мы их никогда не узнаем» (9, 258). Это пессимистический вывод, и, по мнению акад. Б. В. Гнеденко, он означает только то, что Н. Бурбаки лишь поверхностно затронули важнейший вопрос: каков объект изучения математики (17). Они не попытались выявить процесс формирования основных понятий и основных задач математики в историческом аспекте.

Подобные вопросы не могут возникнуть в связи с определением Ф. Энгельса, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются лишьабстракциями от некоторых отношений и форм реального мира, ониберутся из реального мираи поэтомуестественным образом с ним связаны. В сущности этим объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, объясняется успех того процесса, который мы сейчас наблюдаем и который называется «математизацией» знаний. Известен ряд примеров, когда абстрактно созданные математические теории намного опережали открытие соответствующих им реальных физических процессов в области естествознания. «Удивительная, непостижимая эффективность математики в естествознании, тот факт, что ее современные модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности, говорит о том, что математика отражает не только количественную, но и в какой-то мере качественную сторону явлений объективной реальности, о чем писали еще Кант и Гегель» (20, 16).

Если проанализировать состояние современной математики как области науки, как языка науки в историческом аспекте, выявить процесс формирования основных понятий, то становится очевидным, что современная математика имеет логически стройную внутреннюю структуру, элементами которой являются, в свою очередь, те самые математические структуры, поразительная применимость которых так удивляет («принцип иерархии структур