Начиная с таких простых начал, как эти, все мыслимые конфигурации пространства, направления, движения, скорости и их изменения могут быть введены в диапазон чистого вычисления. Вся аналитическая геометрия состоит в применении ее к посторонней предметной материи пространственных фигур. И благодаря чрезвычайной общности ее символов и методов в сочетании с минимальностью того, что мы можем назвать ее прожектором – исчисления, мы можем быть уверены, что ни одна часть пространства, времени или возможного движения не должна быть оставлена непредставленной в ее результатах.

Из этого, однако, отнюдь не следует, что все результаты в форме алгебраических или символических выражений, к которым приходит чистое исчисление или которые выводятся из его процессов в ходе такого применения, должны иметь корреляты, представленные ими в объектной материи, к которой применяется исчисление. По сравнению с общими понятиями и процессами чистого вычисления, объект-материя, который мы знаем как поддающееся измерению пространство, время и движение, – это данный и конкретный объект-материя. Ее явления, хотя и весьма абстрактные, не допускают обобщения так же, как это делает простое арифметическое число, благодаря приему обращения с неизвестными числами, как если бы они были известны, и несуществующими или отрицательными числами, как если бы они существовали для целей вычисления. Следовательно, никогда нельзя избежать вопроса, могут ли символические выражения, к которым мы приходим или которые участвуют в вычислении, быть или не быть истолкованы как указывающие или представляющие какие-либо позитивно мыслимые особенности или отношения в данном объекте-материи; ибо этот объект-материя имеет свою собственную природу и законы, полностью независимые от тех процессов чистого вычисления, которые действительно используются для их открытия, но сами по себе не ограничиваются этим открытием и никоим образом не являются творческими в отношении природы и законов, которые они используются для открытия. Акты целенаправленного внимания к временному потоку сознания порождают число и исчисление, но ни число, ни исчисление не порождают восприятия пространственной протяженности или того движения, которое ее предполагает. Именно из актов целенаправленного внимания к восприятию пространственной протяженности и движения возникает Геометрия; и именно этим объектом-материей определяется ее цель и определение как науки. Каким бы необходимым ни было чистое вычисление для должного изучения пространственных явлений, оно никогда не сможет изменить ни их природу, вытекающую из пространственного протяжения, ни природу самого пространственного протяжения как непосредственной данности опыта. Эти замечания еще более очевидно применимы к тому более конкретному объекту-веществу чистого вычисления, который состоит из физических масс, сил и энергий Они также, включая их интенсивности, направления и изменения, вводятся в область вычисления теми же средствами, а именно, путем принятия единиц измерения, выраженных численно. При условии, как и прежде, что они рассматриваются исключительно как существующие и происходящие во времени и пространстве, то есть как величины, абстрагируясь от их реальных условий и последствий, отличных от тех, которые могут быть выражены как величины самих сил. Качественные изменения, такие как те, которые происходят вследствие химического сродства между веществами, хотя они могут быть результатом количественных изменений, таких как изменения конфигурации, в веществах, которые объединяются, таким образом, как качественные, исключены даже из этого вторичного объекта-материи чистого вычисления; хотя они также таким образом ipso facto классифицируются как принадлежащие к третьему и еще более отдаленному объекту-материи его, я имею в виду в силу их зависимости от чисто количественных физических изменений, относящихся ко второй главе, насколько законы этих изменений могут быть количественно установлены.