Рисунок 1.1. Темпы роста численности  в зависимости от текущего значения численности .

Конечно, нельзя предугадать, как выглядит график  без сбора дополнительной информации. Возможно, график должен быть вогнутым или выпуклым, например. Тем не менее, это лишь первая попытка создать новую модель.

Вопросы для самопроверки:

– Постройте график темпов роста значений численности по мальтузианской модели. Чем тот график отличается от изображенного на рисунке 1.1?

Для мальтузианской модели

, поэтому тот график темпов роста представляет собой горизонтальную линию и снижения  по мере увеличения  не происходит. С другой стороны, наклонная линия рисунка 1.1 улучшенной модели приводит к формуле , для некоторых  и . В конечном итоге закономерность проявится яснее если записать уравнение прямой как  , где  – абсцисса точки пересечения горизонтальный оси,  – ордината пересечения вертикальной. Заметим, что   и  должны быть положительными. Через алгебраические выкладки получим новое разностное уравнение . Эта модель обычно называется «дискретной логистической моделью» или «дискретным логистическим уравнением», хотя, к сожалению, многие модели называются также.

Параметры  и  в этой модели имеют физические и биологические интерпретации. Во-первых, если

, то . При положительных темпах роста на душу населения население будет увеличиваться. С другой стороны, если , то . При отрицательных темпах роста на душу населения численность населения будет сокращаться.  Поэтому  называют несущей способностью окружающей среды, потому что она представляет собой максимальное количество особей, которые могут поддерживаться в течение длительного периода. Однако, когда население незначительно (т.е.  намного меньше, чем ), множитель  устремляется в 1. Поэтому для малых значений  модель аппроксимируется приближенными значениями .

Другими словами,  играет роль

, в вышеописанной линейной модели. Параметр  просто отражает то, как популяция будет расти или уменьшаться в отсутствие факторов, зависящих от плотности, когда численность намного ниже предельного значения. Как правило  называют конечной внутренней скоростью роста. Термин «внутренний» относится к отсутствию внешнего воздействия, зависящего от плотности, а термин «конечный» подчеркивает тот факту, что используются временные шаги конечного размера, а не бесконечно малые временные шаги дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки:

– Какие значения можно ожидать от  и  в случае, когда захотите смоделировать численность ежегодно поступающих на физико-математические факультеты омских ВУЗов?

Как вы увидите в задачах ниже, существует много способов, которыми разные авторы формируют логистические модели, в зависимости от того, смотрят ли на  или , используют ли различные множители. Ключевым моментом, который поможет распознать нелинейную модель, является то, что и

, и  выражаются как квадратные трехчлены от . Кроме того, эти многочлены не имеют свободного члена (т.е. члена нулевой степени). Таким образом, логистическая модель является простейшей нелинейной моделью, которую можно придумать. Как и в случае с линейной моделью, первым шагом в понимании этой модели является выбор некоторых конкретных значений для параметров  и , а также для начальной численности  и вычисление следующих значений . Например, выбирая  и  так, что  и , получаем таблицу 1.5.

Таблица 1.5. Популяционные значения из нелинейной модели

t             0             1             2             3             4             5             6             7             8             9             10