При линеаризации для определения стабильности очень важно сосредоточиться на равновесии. Даже не пытайтесь определить является ли точка стабильным или нестабильным равновесием, пока не убедитесь в том, что это точка является равновесием в принципе. Последующий анализ предполагает, что точка
удовлетворяет равенству
. Например, если бы попытались линеаризовать
для
в предыдущем примере, то не смогли бы ничего сделать, потому что 11 не является точкой равновесия.
Наконец, также важно, что проведённый анализ стабильного и неустойчивого равновесия, был локальным, а не глобальным. Эта устоявшаяся терминология означает, что рассмотрели лишь то, что происходит в очень небольших окрестностях вокруг точки равновесия. Хотя устойчивое равновесие будет притягивать все близлежащие значения, это не означает, что значения расположенные далекого тоже должны стремиться именно к нему. Точно так же, как несмотря на то нестабильность равновесие, нельзя утверждать, что далёкие от него значения не будут к нему стремиться или не окажутся вовсе ему равными.
Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели
для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр
в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится
. Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр влияет на поведение модели.Зафиксировав

, для любого значения логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения 
, которые приводят к 
. Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при будет равен , а при равен . Поэтому всегда является неустойчивым равновесием для .Случай гораздо интереснее. Во-первых, когда , что равносильно , модель имеет стабильное равновесие в точке . Формула показывает, что знак при этом никогда не изменится; хотя отклонение уменьшается, первоначально положительное отклонение остается положительным, а изначально отрицательное – отрицательным. Популяция просто движется к равновесию, никогда не превышая его.
Далее, когда увеличивается настолько, что , то и равновесие будет все еще стабильным. Однако, теперь видим, что так как , то знак будет чередоваться между положительным и отрицательным значением по мере увеличения . Таким образом, можно видеть колебательное поведение выше и ниже точки равновесия, поскольку отклонение от равновесного значения имеет чередование знака. Таким образом, популяция приближается к равновесию как затухающее колебание.
Подумаем о том, почему такое колебание может произойти с точки зрения моделируемой популяции. Если
, мера скорости воспроизводства новых ленов популяции, достаточно велика, то популяция ниже пропускной способности окружающей среды может за один временной шаг своего развития временно вырасти настолько, что превысит пропускную способность. Как только численность превышает пропускную способность, популяция вымирает достаточно быстро, чтобы к следующему шагу она снова оказалась ниже пропускной способности окружающей среды. Но затем её численность снова вырастет настолько, чтобы превзойти критическое значение. Как будто популяция перенастраивается и адаптируется заново на каждом временном интервале.