Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася?

Задача 3.6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г, …, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса?

Задача 3.7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3x3 натуральными числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце – нечетным? 2) А таблицу 4x4?

Задача 3.8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, целиком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата?

Задача 3.9. Верно ли, что все числа вида 2^>n + 15, где n – натуральное число, простые?

Задача 3.10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей.

1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сумму своих цифр?

2) А стозначное?

Задача 3.11. 1) Какие из высказываний А – Д означают одно и то же?

2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других высказываний в таком случае наверняка истинны?

А: Дед Мороз – волшебник.

Б: Существует хотя бы один дед-волшебник.

В: Существует ровно один дед-волшебник.

Г: Некоторые деды – волшебники.

Д: Некоторые волшебники – деды.

Задача 3.12*. Найдите ошибку в рассуждениях.

«Рассмотрим три высказывания:

А: Существует хотя бы один дед-волшебник.

Б: Дед Мороз – волшебник.

В: Все деды – волшебники.

Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогично задаче про Мишиных одноклассников).

С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз служил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз – пример). Итак, если верно В, то верно и А».

Задача 3.13 Прокомментируйте доказательство существования Деда Мороза, изложенное в виде диалога двух логиков.

Первый: «Если я не ошибаюсь, Дед Мороз существует».

Второй: «Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь».

Первый: «Следовательно, мое утверждение истинно». Второй: «Разумеется!»

Первый: «Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует».

Пираты!

Ни пуха, ни пера!

Юлий Ким

На этом занятии кружковцы научатся строить отрицания к высказываниям с союзами «и» и «или». На нем продолжается работа с понятием отрицания и законом исключенного третьего, а также с кругами Эйлера в качестве иллюстраций. Появляются таблицы истинности, которые пригодятся на пятом занятии. Однако при желании его можно с минимальными изменениями провести и независимо от других занятий книжки, поскольку уровень сложности рассчитан на начинающих.

Но вот парадокс: дети сравнительно легко справляются с предложенными задачами. Если кто-то ошибся, он быстро исправляется. Но через некоторое время многие ошибутся в аналогичном месте. Почему?

Как указано в предисловии, основные трудности учащиеся испытывают там, где формальный смысл высказывания отличается от разговорной практики. Одно из таких отличий связано с тем, что если два простых предложения объединить союзом «и» в сложносочиненное, смысл сказанного на бытовом уровне не изменится. Какая, казалось бы, разница, как сказать: «Беня врун. И Веня врун» или «Беня и Веня оба вруны»? Если это говорит правдивый человек, действительно, никакой. А вот если лгун – разница есть (см. задачу 4.8). Другое отличие связано с разделительным и неразделительным пониманием союза «или» и описано в замечаниях между задачами 4.2 и 4.3 и в задаче 4.4. Чтобы такого рода трудности преодолеть, недостаточно сообщить таблицу истинности и решить одну задачу. Для большинства учащихся и одного занятия будет недостаточно. Рекомендуем руководителю кружка часть предложенных здесь задач оставить «на потом». Для закрепления можно брать дополнительные задачи, а можно и придумывать в необходимом количестве задачи, аналогичные задачам 4.2, 4.3, 4.6.