Звук и форма очень часто несут в себе различные зародыши заблуждения и обмана. Число – никогда; оно одно приводит к несомненным результатам; и если искусство измерять высказывает такое же притязание, то может оправдать его только при помощи математики и в соединении с нею, т. е. оно потому несомненно, что оно высчитывает.

Так как на тот способ обучения, которым вернее всего достигается цель обучения – ясные понятия, надо смотреть как на важнейший, то ясно, что этот способ следует применять всюду, с особенным тщанием и искусством, и что для достижения главной цели преподавания в высшей степени важно, чтобы и этот способ получил форму, имеющую в себе все те преимущества, которые могут быть даны обучению глубоким знакомством с психологией и обширным знанием непреложных законов физического механизма. Поэтому я особенно старался сделать математику в глазах ребенка самым ясным результатом этих законов и не только ее основы довести в человеческом уме до той простоты, в какой они являются в действительности, в природе, но и дальнейшее их развитие во всех их изменениях привести в непрерывную связь с этой простотой первоначальной основы – в убеждении, что даже крайние пределы этого искусства только в том случае могут быть средствами для истинного просвещения, т. е. средствами для достижения ясных понятий и чистых взглядов, если развиваются в человеческом уме в той же последовательности, в какой они исходят от первых основ в самой природе.

Искусство счисления

Оно происходит из простого сложения и разложения чисел. Его основная форма, как уже сказано, собственно, следующая: один и один равняется двум, и один из двух остается один. И каждое число, как всегда оказывается, есть само по себе не что иное, как средство сокращать эту существенную первоначальную форму всякого счисления. Но важно то, что знание основной формы числовых отношений не ослабляеются в человеческом уме этим средством, сокращающим счисление, а тщательно и глубоко запечатлевается в нем посредством тех форм, в которых это искусство преподается, и всякий прогресс в этом искусстве основывается на достижении одной цели, именно на получении глубоко западающего в человеческий ум знания реальных отношений, составляющих сущность всякого счисления. Если же этого нет, то даже самое главное средство получить ясные понятия унижается до степени игры нашей памяти и воображения и так становится бессильным в достижении своей главной цели.

Иначе и быть не может; если, напимер, мы только наизусть учим: 3+4=7 – и затем на этих 7 будем основываться, как будто на самом деле знаем, что 3+4=7, то мы будем обманывать самих себя, потому что внутренняя правда этих семи не в нас, так как мы не знаем материальной основы, которая одна только может сделать для нас истиной это пустое слово. То же самое бывает во всех отделах человеческого знания. И черчение, вследствие того что не примыкает к измерению, из которого оно возникает, теряет свою главную внутреннюю правду, при помощи которой оно только и может возвысится до степени средства, приводящего нас к ясным понятиям. <…>

Друг! Следует отличать наблюдение, рассматриваемое как тот пункт, от которого исходит обучение, от искусства наблюдения, которое есть учение об отношениях всех форм; как общая основа всех трех первоначальных средств обучения оно предшествует искусству наблюдения так же, как искусству счисления и речи. Если рассматривать наблюдение в противоположность искусству наблюдения, отдельно и само по себе, то оно окажется, с одной стороны, простым появлением внешних предметов пред нашими чувствами, а с другой – простым возбуждением сознания тем впечатлением, которое они произвели; этим природа начинает всякое обучение; им пользуется младенец, оно дается матерью; но искусство ничего не сделало, чтобы в этом отношении идти наравне с природой. Напрасно пред его глазами было прекраснейшее зрелище – мать, показывающая мир своему ребенку; оно ничего, ровно ничего не связало с этим зрелищем на пользу народа