Одно из важнейших практических следствий такого волнового поведения – существование предела для наименьших структур вещества, которые в принципе могут поддаваться изучению. Грубо говоря, такие эффекты, как дифракция и интерференция, указывают на то, что волна не может предоставить нам удовлетворительную информацию об объектах меньше длины этой волны. Меньший объект видится размытым, неясным. В нашем примере с ведущим в гавань каналом волны, длины которых гораздо короче сечения канала, будут представлять собой сфокусированный луч. Волны, длиной равные ширине канала, распространятся из него и заполнят гавань. Те же волны, которые окажутся длиннее ширины канала, даже не смогут в него зайти.
Любая система, которая может поддерживать существование волны, описывается волновым уравнением, объясняющим, как будет «работать» эта волна. Так, водная поверхность залива, по которой мы движемся, представляет собой одну из таких систем. Другой пример – воздух. Небольшая область плотного воздуха под высоким давлением будет распространяться, сжимая соседние области, которые, в свою очередь, будут сжимать соседние с ними области и т. д. Импульс высокого давления, который распространяется по воздушной среде, называется звуковой волной, создаваемой при сжатии воздуха каким-либо способом, например вибрационным барабаном или вашей гортанью.
Электрические и магнитные поля образуют другую систему, которая описывает, как перемещаются световые лучи, радиоволны и другие электромагнитные волны. Здесь важно отметить, что в силу схожести волновых уравнений, лежащих в основе описания всех этих систем, их общее поведение в некотором смысле аналогично по ключевым позициям (включая свойства дифракции и интерференции). Поскольку эти системы окажут важнейшую навигационную помощь в наших дальнейших путешествиях, уделим время объяснению того, почему волновые уравнения так важны в физике.
Нам нет нужды приводить математические выкладки и выписывать уравнения. Однако иногда какое-то уравнение окажется настолько важным для нашего дальнейшего пути по физическому миру, что придется его обсудить. В математике уравнение связывает между собой разные понятия абстрактным, но совершенно определенным образом. Уравнения, используемые в физике, в каждой своей части описывают физические объекты. Связи, получаемые с помощью уравнений, дают представление о поведении этих объектов и, что особенно важно, указывают, как изменение одного физического объекта влияет на изменение другого физического объекта.
Волновое уравнение дает описание изменений некоторой физической величины – высоты воды, давления воздуха, силы электрического поля. Другими словами, это уравнение дает связь изменения указанных величин с течением времени и их местоположением. В частности, волновое уравнение для вод нашего залива говорит о том, что если высота уровня воды различна в различных точках, то поверхность воды будет меняться и в зависимости от времени.
Представьте изгиб на воде, идущий от хвоста плывущего по заливу дельфина, поднимающего некоторую область воды чуть выше, чем окрестные слои. Такая система неустойчива. Небольшой «водяной холмик», созданный движением дельфина, будет разглажен гравитационными силами, и это распространит рябь по поверхности воды. Эта рябь будет подобна бегущей волне.
Волновое уравнение – это просто математическая запись того, как происходит рассмотренный выше процесс. Это уравнение рассказывает нам, как различия в высоте воды в разных областях приводят к изменению высоты воды в разные моменты времени. Уравнение может быть использовано, чтобы предсказать, как волны будут распространяться и взаимодействовать друг с другом, причем это в равной степени относится к волнам на воде, к звуковым волнам, радиоволнам и квантовым волнам.