В него вошли преподаватели университета, а также историки, архивисты и археографы, в числе которых были Н. М. Карамзин, Н. Н. Бантыш-Каменский, А. Ф. Малиновский, К. Ф. Калайдович, А. И. Мусин-Пушкин и др. Особенно активно научная деятельность общества развернулась после Отечественной войны 1812 г. Наибольший размах исследовательская и публикаторская работа общества (издание летописей, древних актов и т.д.) получила с 40-х гг. XIX в., когда во главе его находились такие исследователи, как О.М.Бодянский, И. Д. Беляев, А. Н. Попов, Е. В. Барсов. В конце XIX-начале ХХ в. общество объединяло большую часть русских историков и археографов, а также собирателей рукописей, издавало «Записки и труды», «Русский исторический сборник», «Чтения МОИДР», в которых было опубликовано огромное количество разнообразных источников, а также исследований по русской истории.

Особая судьба выпала на долю первого в России Математического общества, основанного в 1810 г. пятнадцатилетним студентом Московского университета, страстным любителем математики Михаилом Муравьевым. В конце ХVIII – начале ХIХ в. математическое образование в российских университетах находилось на довольно низком уровне, было представлено, как правило, одним—двумя преподавателями. Не издавалось математических журналов. Общество ставило своей задачей исправить сложившуюся ситуацию и способствовать широкому распространению математических знаний посредством специальных сочинений, переводов и преподавания. Главный костяк общества составили студенты и кандидаты университета, к которым вскоре присоединились и некоторые преподаватели. Председателем был избран отец основателя генерал-майор Н. Н. Муравьев, придавший работе общества преимущественно учебный характер. Члены общества распределили между собой преподавание математических курсов (чистой математики и некоторых разделов прикладной). В московском доме Муравьевых начались бесплатные публичные лекции по математике и военным наукам, ориентированным на квартирмейстерство. Военные науки преподавал Н. Н. Муравьев. Лекции имели большой успех у москвичей, особенно из числа военных.

Ознакомившись с работой этого необычного учебного заведения, генерал-квартирмейстер князь П. М. Волконский не только горячо одобрил полезное начинание, но и предложил слушателям вступить в службу колонновожатых. В 1815—1816 гг. это предложение приняли 44 слушателя муравьевских лекций. Все они успешно выдержали предложенный военным руководством экзамен. Это дало генералу Волконскому повод ходатайствовать перед императором о создании в Москве на базе Математического общества государственного учебного заведения для колонновожатых. Впоследствии здесь стала осуществляться подготовка офицеров Генерального штаба.

В Московское учебное заведение для колонновожатых (таково было его первоначальное название) принимались дворяне не моложе 16 лет по предварительном испытании в русском и иностранном языках (немецком или французском), в арифметике и начальных основаниях геометрии и истории. Преподавание велось по трем основным циклам: математическому (арифметика, алгебра до уравнений второй степени включительно, геометрия, тригонометрия плоская и сферическая, приложение алгебры к геометрии, аналитическая геометрия с включением конических сечений и начала высшей геодезии); военных наук (фортификация, начальные основания артиллерии и тактика); общеобразовательных дисциплин (всеобщая и российская история, география, черчение, особенно ситуационных планов). Предметы распределялись на три курса. Каждый курс проходился за 4 месяца. Летом все слушатели отправлялись в одно из имений Муравьевых для практических занятий.