Алгебраические, или нелинейные, фракталы образуются цифровым способом – визуализацией итерационного алгоритма расчета по формуле, содержащей комплексные числа; например, формула множества Жюлиа имеет вид: f(z) = z^>2 + c, где z и с – комплексные числа.

Архитектурные геометрические фракталы:

Храм Боробудур

Замок Castel del Monte

Конечный результат каждого цикла используется в качестве начального значения для расчета последующего, т. е. процесс повторения процедуры также является рекурсивным. Один из способов визуализации алгебраических фракталов состоит в том, что действительная часть каждого z_>0 изображается в виде точки в прямоугольной системе координат и окрашивается в определенный цвет в зависимости от номера итерации, на которой значение z может считаться бесконечным. Фрактальное подобие в получившихся визуализациях может быть не столь очевидным, но оно, несомненно, присутствует и выявляется визуально или аналитически.

Примером алгебраического фрактала служит знаменитое множество Мандельброта. Не являясь самоподобным в строгом геометрическом смысле, оно, тем не менее, при увеличении изображения демонстрирует внутри себя бесконечное число собственных крохотных копий.

Визуализация алгебраических фракталов лежит в основе цифровой фрактальной живописи. Такого рода фракталы наблюдаются во многих планах городской застройки Нового времени, в архитектуре «колодца» в дворцово-парковом комплексе Quinta da Regaleira (Синтра, Португалия), башни Aqua (Чикаго, США) и др. Фрактальность нелинейного типа используется в современной так называемой «органической» архитектуре (проекты Ф. Л. Райта, Ф. Гери, Заха Хадид и др.)[34], в прогнозировании поведения финансовых рынков[35] и, вероятно, может служить аналитическим инструментом при моделировании социокультурных процессов.

Нелинейные архитектурные фракталы:

«Колодец масонов» (Синтра, Португалия)

Музей Гуггенхайма (Нью-Йорк)

При этом самоподобие фрактальных паттернов может быть абсолютным (точное рекурсивное воспроизводство паттерна) или относительным (квазиподобие), когда маленькие элементы фрактала при увеличении масштаба рассмотрения не повторяют точно систему в целом, но в общем имеют похожий, хотя и несколько искаженный вид. При внесении в геометрический или алгебраический алгоритм периодических случайных вариаций получаются стохастические фракталы. В таких случаях имеет место приближенное сходство, которое достаточно хорошо ощутимо. Большинство природных фракталов являются стохастическими фракталами. Такие фракталы (например, Броуновское дерево) обладают статистическим подобием. Кроме того, существуют алеаторные фракталы, в которых искажения паттерна существенны и непредсказуемы из-за случайных внешних возмущений[36]. В городской культуре к ним принадлежат большинство городских кварталов, архитектура храма Святого семейства (арх. А. Гауди), музея Гуггенхайма в Бильбао, Центра науки и культуры короля Абдул Азиза в Саудовской Аравии (см. цветную вкладку) и др.

Стохастические фракталы:

Храм Святого Семейства (Барселона, Испания)

Центр науки и культуры короля Абдул Азиза (Саудовская Аравия)

Стохастическая фрактальность присутствует во многих произведениях «традиционных» искусств (литературе, кинематографе, живописи): так, фрактальный анализ даже применяется для определения подлинности живописных абстракций Дж. Поллока[37]. Стохастический характер демонстрируют большинство социокультурных процессов, в т. ч. культурная трансмиссия.

Наконец, особый тип фракталов представляют собой так называемые культурные фракталы, которые используются при анализе социокультурных феноменов и артефактов. Вот как определяет культурный фрактал Пол Даунтон (Paul Downton), австралийский ученый, специалист в области экологии архитектуры и биоурабнистического дизайна: «Культурный фрактал содержит конфигурации всех существенных характеристик его культуры»