Несоизмеримость явно связана с бесконечной делимостью. Она не могла бы возникнуть, если бы существовал некий предел делению, если бы мы могли выявить некий атом[44], из которого были бы составлены все геометрические величины. Такой атом был бы универсальной мерой, и несоизмеримость была бы невозможна. Но такого атома нет, и, соответственно, нет общей меры для всех геометрических величин. При решении каждой задачи мы должны выбирать особую меру, сообразно ее условиям. Но, оказывается, что найти такую меру не всегда возможно.

В геометрии, таким образом, мы опять имеем дело с пределом и беспредельным. Фигуры и линии ограничены, т. е. имеют предел, но бесконечно делимы, следовательно, включают беспредельное. Точки, ограничивающие линии, и линии, огранивающие фигуры, играют ту же роль, что отдельные голоса в музыке. Они разграничивают континуум, бесконечно делимую среду, вносят в нее структуру, определенность. Именно благодаря такому разграничению возникают соразмерные целостности, подобные тем, которые мы видели в задаче об удвоении квадрата. Но, как видим, в геометрии предел не всегда может совладать с беспредельным. «Прорываясь» в виде несоизмеримости, оно не позволяет нам достичь полной ясности при изучении геометрических фигур и величин.

Гораздо в большей степени удается достичь ясности в арифметике. Здесь мы имеем как раз то, что отсутствовало в геометрии – общую меру. Все числа соизмеримы, поскольку составлены из единиц. В этом собственно и состоит определение числа. По Евклиду, число есть «множество, составленное из единиц» (Евклид. Начала. VII. Опр. 2). Если же пользоваться пифагорейскими источниками, то сходное по сути, хотя и несколько более сложное, определение дает Никомах из Герасы: «Число есть ограниченное множество, или собрание единиц, или поток составленного из единиц количества»[45]. Единица не определяется никак. Она, в отличие от числа, неделима. Иными словами, в арифметике мы имеем ровно ту ситуацию, которую описывали выше. Этим арифметика принципиально отличается от геометрии. Впрочем, число также есть единство предела и беспредельного, но беспредельное проявляет себя здесь не через бесконечную делимость, а через неограниченное возрастание.

Рассмотрим некоторые важные особенности пифагорейской арифметики, опираясь на только что цитированный источник – трактат Никомаха из Герасы. Прежде всего, заметим, что его автор настаивает на неравноправном положении наук, почитая арифметику более значимой, чем все остальные, и даже называя ее «матерью всех наук»[46]. Аргументирует он это тем, что «с ее уничтожением уничтожаются все науки, сама же она не уничтожается вместе с ними». Ни геометрия, ни астрономия, ни музыка не могут изучаться без знания чисел. Числа же, упорядочивая и организуя все остальное, не зависят ни от чего. О числах при этом достигается наиболее ясное знание.

Начнем с классификации чисел. Единица, заметим, числом не является. Она есть начало всякого числа. Числа же, прежде всего, разделяются на четные и нечетные. Первые делятся на два равных, вторые же не могут быть разделены на два.

Четные числа, в свою очередь, разделяются на три вида: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-четные. Определения этих видов таковы.

Четно-четные числа, по определению Никомаха, делятся на две равные части так, что получившиеся доли, в свою очередь, делятся пополам и это деление пополам можно продолжать до тех пор, пока не получится единица. Иными словами, речь идет о степенях двойки, т. е. числах 2, 4, 8,16, 32, 64…

Четно-нечетное число таково, что его половины уже не делятся на два. Таковы, например, 6,10,14,18, 22, 30. Этот вид четных чисел Никомах называет противоположным первому.