Рис. 1. Схема соотношений интервалов звука

Таким образом, в беспредельный континуум звуков внесены не только границы, но и внутренняя соразмерность. Возникает возможность точного числового соотнесения интервалов. Более того, консонансные интервалы представлены как соразмерные части организованного целого. Однако эта организация еще не вполне прояснена. Слишком много в ней основывается на чувственном восприятии, на способности человека различать и соотносить звуки. Ясно, что эта способность у всех различна, а отношения, основанные на таком восприятии, не могут быть точными. Пифагорейцы постарались найти для своих исследований более надежную опору, что и привело к исследованию музыкальной гармонии.

Главным открытием пифагорейцев в теории музыки следует считать то, что они сумели свести звуковые интервалы к отношениям длин, т. е. весьма точно измеряемых величин. Эти отношения собственно и получили названия гармоний.

Сохраним те обозначения, которые мы только что использовали, только теперь буквами А, В, С, D будем обозначать не сами звуки, а длины струн, которые эти звуки производят. Пифагорейцам принадлежит следующее открытие.

Октава соответствует отношению 1:2, т. е., если звук D на октаву выше А, то струна D в два раза короче струны А.

Соответственно отношения длин струн А к В составляет 4:3 (кварта).

Отношение А к С составляет 3:2 (квинта).

Иными словами, каждый консонансный интервал определяется числовым отношением. Присмотримся к этим

отношениям внимательнее. Чтобы лучше описать их свойства, разделим А на 12 равных частей. В таком случае двенадцатая часть А окажется единицей измерения, т. е. общей мерой для всех остальных струн. Легко видеть, что при измерении этой единицей А=12; В = 9; С = 8; D=6. Получается, что отношение С к D составляет 4:3, а отношение В к D – 3:2, что, как и следовало ожидать, соответствует кварте и квинте.

Легко видеть, кроме того, что один тон определяется отношением В к С, т. е. 9:8. Это значит, что можно строить и другие звуковые интервалы. Выбрав тон в качестве меры для интервала звучаний, можно подобрать требуемые отношения длин для любого интервала в пределах октавы. При этом всякий раз будет сохраняться соразмерность длин. Правда использовать двенадцатую часть А (самой длинной струны) в качестве общей меры уже не удастся. Всякий раз нужно будет выбирать другую единицу измерения. Тот факт, что именно для трех консонансных интервалов существует общая мера, как будто говорит об их особой природе.

Итак, консонансные звучания определяются числовыми пропорциями. Эти пропорции пифагорейцы и назвали гармониями, т. е. скрепами. Именно они, по мысли Филолая, скрепляют предел и беспредельное. В самом деле, с помощью числовых отношений структурируется беспредельность континуума звуков, вносится порядок, определенность, устойчивость в то, что поначалу предстает как неопределенное, неуловимое. Существование числовых отношений, в свою очередь, определяется соизмеримостью, т. е. наличием общей меры. Величины, соответствующие звукам, измеряются одной и той же единицей, что и создает их особую связь друг с другом. Все они могут быть представлены как части, складывающиеся в некоторое целое: каждая из величин В, С или D составляет часть А, причем часть, соразмерную с целым[37].

Космология пифагорейцев построена на тех же основаниях, что и теория музыки. Впрочем, здесь, наряду с наблюдениями за движением светил, они прибегают и к весьма произвольным построениям, позволяющим им перенести на Космос те самые числовые гармонии, которые они открыли, исследуя музыку. Важно, что и в космологии речь идет о пределе и беспредельном и об их соединении с помощью числа.