С физической точки зрения гораздо выгоднее сказать, что скорости двух шаров, движущихся в различных направлениях, различны. Хотя это – дело чистого соглашения, но гораздо удобнее сказать, что четыре автомашины, едущие из одного и того же пункта по различным дорогам, имеют не одну и ту же скорость, даже если численно скорости, зарегистрированные на их спидометрах, все равны сорока километрам в час. Это различие между скоростью, взятой по абсолютной величине, и скоростью, в которой учитывается направление, иллюстрирует, как физика, отправляясь от понятия, употребляемого в повседневной жизни, изменяет его таким путем, который оказывается плодотворным в дальнейшем развитии науки.

Если величина измерена, то результат выражается некоторым числом единиц. Длина отрезка может быть равна 3 метрам 7 сантиметрам, вес некоторого объекта равен 2 килограммам 3 граммам, измеренный промежуток времени – стольким-то минутам или секундам. В каждом таком случае результат измерения выражается числом. Однако одного только числа недостаточно для описания некоторых физических понятий. Признание этого факта отмечает значительный успех в научном исследовании. Направление, так же как и число, существенно, например, для характеристики скорости. Такая величина, обладающая и числовым значением и направлением, называется вектором. Обычный символ для него – это стрелка. Скорость может быть представлена стрелкой или, короче говоря, вектором, длина которого в некоторой избранной шкале единиц выражает численное значение скорости, а направление которого есть направление движения.

Если четыре автомашины расходятся с численно одинаковой скоростью из одного пункта, то их скорости могут быть представлены четырьмя векторами одинаковой длины, как это видно на рисунке 1. В избранной шкале один сантиметр представляет сорок километров в час. Таким путем любая скорость может быть обозначена вектором и, наоборот, если известна шкала, то из такой векторной диаграммы может быть установлена скорость.

Рис. 1.

Если две автомашины проходят по автостраде мимо друг друга и их спидометры показывают сто километров в час, то мы характеризуем их скорости двумя различными векторами со стрелками, заостренными в противоположных направлениях (рис. 2).

Рис. 2.

Точно так же и стрелки, указывающие направление «в город» и «из города» в нью-йоркском метро, должны быть заострены в противоположных направлениях. Но все поезда, идущие в город с численно равной скоростью, имеют одинаковую скорость и по направлению, которая может быть представлена одним и тем же вектором. Однако вектор ничего не говорит о том, какую станцию поезд проходит или по какому из многих параллельных путей он идет.

Рис. 3.

Другими словами, согласно выбранному условию все такие векторы (рис. 3) можно считать равными: они лежат либо вдоль одной и той же линии, либо вдоль ей параллельных и имеют стрелки, заостренные в том же самом направлении. Следующий рисунок показывает различные векторы, ибо они отличаются либо по длине, либо по направлению, либо по тому и другому вместе. Те же самые четыре вектора можно нарисовать другим путем, так, чтобы все они расходились из одной точки (рис. 5). Так как исходная точка несущественна, то эти векторы могут представлять скорости четырех автомашин, движущихся из одного пункта, либо же скорости четырех автомашин в различных частях страны, путешествующих с указанными скоростями в указанных направлениях.

Рис. 4.

Рис. 5.

Это векторное представление можно применить к описанию обсуждавшихся ранее фактов прямолинейного движения. Мы говорили о тележке, движущейся равномерно по прямой и получающей толчок в направлении ее движения, который увеличивает ее скорость. Графически это можно представить двумя векторами: коротким, обозначающим скорость до толчка, и длинным, имеющим то же направление и обозначающим скорость после толчка (рис. 6). Значение пунктирного вектора ясно. Он представляет собой изменение скорости, вызванное толчком. В случае, когда сила направлена против движения и движение замедляется, диаграмма выглядит иначе (рис. 7). Пунктирный вектор опять соответствует изменению скорости, но в этом случае его направление иное. Ясно, что не только сами скорости, но и их изменения – тоже векторы. Но всякое изменение скорости вызвано внешней силой; следовательно, и сила должна быть представлена тоже вектором. Для того чтобы характеризовать силу, недостаточно установить, с каким усилием мы толкаем тележку; мы должны также сказать, в каком направлении мы толкаем. Сила, как и скорость и ее изменение, должна быть представлена вектором, а не только одним числом. Поэтому внешняя сила – это тоже вектор, который должен иметь то же направление, что и изменение скорости. На обоих рисунках пунктирные векторы показывают как направление силы, так и изменение скорости.