Рис. 8. Доходности двух сильно коррелирующих активов и их портфеля с долями 1/2.

Какое бы соотношение долей активов мы бы не взяли, кривая доходностей портфеля всегда будет находится между кривыми доходностей этих двух активов. Кривая доходностей портфеля, как бы заперта, между кривыми доходности сильно коррелирующих активов. Она будет расположена ближе к кривой первого или второго актива в зависимости от соотношения долей этих активов в портфеле: W_>1 и W_>2.

Средняя доходность портфеля _>12 всегда будет находиться между средними доходностями этих двух активов (_>2 ≤ _>12 ≤ _>1) и риск портфеля S_>12 тоже будет находиться между рисками этих двух активов (S_>2 ≤ S_>12 ≤ S_>1). А значит, нижняя граница диапазона риска портфеля в нашем примере всегда будет находиться в отрицательной области.

1.2.2.2. Коэффициент корреляции меньше единицы и больше минус единицы

Вернемся к нашему примеру с активами A и B из начала раздела 1.2.2. Если коэффициент корреляции временных рядов доходностей двух активов будет в диапазоне от -1 до +1 (-1>AB<+1), то формула доходности портфеля будет точно такая же, как и раньше:

А в формуле для риска портфеля двух активов (см. последнюю формулу раздела 1.2.2), в общем случае, квадратный корень в аналитическом виде не извлекается. Но хорошо видно, что подкоренное выражение будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции Corr_>AB. Значит, риск портфеля из двух активов будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции.

Вот это и есть главный вывод теории Марковица. Чем коэффициент корреляции доходности активов меньше, тем меньше риск портфеля. Мы здесь этот вывод увидели на примере портфеля из двух активов.

На графике «Риск-Доходность» (см. рис. 5) портфели из двух активов будут уже располагаться не на отрезке, который соединяет два актива, а на кривых линиях, которые соединяют эти активы. Эти кривые имеют выпуклость в сторону меньшего риска.

На рис. 5 показано, как меняются линии местоположения портфелей для разных долей активов A и B, и разных коэффициентов корреляции. Разные цвета кривых на рис. 5 соответствуют разным коэффициентам корреляции Corr_>AB. А конкретные точки на кривой фиксированного цвета соответствуют разным соотношениям весов активов W_>A и W_>B.

Цветными точками на рис. 5 показаны портфели с минимальными рисками для данного коэффициента корреляции.

Черными точками на рис. 5 показаны положения портфелей с равными весами активов W_>A = W_>B = 0.5. Доходности таких портфелей одинаковые. Но риски этих портфелей тем меньше, чем меньше коэффициент корреляции между доходностями активов.

Обратите внимание, что равные веса активов еще не гарантируют, что получится портфель с минимальным риском. Хорошо видно, что цветные точки находятся левее черных точек на соответствующих цветных кривых.

1.2.2.3. Антикорреляция Corr=-1

При самой маленькой корреляции между доходностями активов (Corr_>AB=-1) кривые линии портфелей переходят в 2 отрезка, лежащих на прямых линиях, как показано голубым цветом на рис. 5. Эти отрезки касаются вертикальной оси координат в одной точке.

Но все точки на вертикальной оси координат соответствуют портфелям с нулевым риском. Значит, если доходности двух активов в точности антикоррелируют друг с другом, то можно так подобрать весовые коэффициенты этих двух активов, что результирующий портфель не будет иметь никакого риска (то есть станет безрисковым активом). Найдем эти весовые коэффициенты.

Если в последнюю формулу для риска из раздела 1.2.2 подставить Corr_>AB=-1, то квадратный корень извлекается в аналитическом виде и получаем результат для весов в виде: