Согласно определению математический анализ – это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него также входят еще ряд других математических дисциплин.

Этот самый фундаментальный труд в истории математики состоит из шести томов.

Двухтомник «Введение в анализ бесконечных» был издан в 1748 г. в Лозанне. Этот первый учебник по аналитической геометрии написан до того увлекательно и доступно, что и по сию пору не нашлось смельчака изложить его по-своему. В 1755 г. в Берлине вышло продолжение – «Дифференциальное исчисление», а в 1768–1770 гг. в Санкт-Петербурге – «Интегральное исчисление» и «Полное введение в алгебру», посвященное теории алгебраических уравнений. В 1774 г. увидел свет последний, шестой том – «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», в котором Эйлер впервые изложил вариационное исчисление.

По этим книгам учились все европейские математики до середины XIX в. В 1849 г. К.Ф. Гаусс писал, что «изучение всех работ Эйлера останется навсегда лучшей, ничем не заменимой школой в различных областях математики». Слова «короля математиков» не потеряли своей актуальности и сегодня.

А мы никогда не забудем, что у Эйлера помимо его математического анализа есть еще два главных открытия: он открыл России науку в высшем ее понимании, а саму Россию открыл не только миру науки, но и всему миру.

Один из крупнейших математиков всех времен, прозванный в мире «Коперником геометрии», ректор Казанского университета, Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) является творцом неэвклидовой геометрии (геометрии Лобачевского), совершившей переворот в представлении о природе пространства. Не понятое и не принятое современниками ученого, а позднее названное «геометрией Вселенной», это открытие оказало огромное влияние на развитие математического мышления и стало одним из оснований современной математики и теоретической физики, в частности специальной (частной) и общей теории относительности.

Над входом в Академию Платона было написано: «Да не войдёт сюда не знающий геометрии». Эта надпись понятна каждому образованному человеку, для которого главной наукой является философия, а ее преддверием служат математические науки: арифметика, музыка, геометрия, астрономия. Не погрешив против истины, скажем, что в начале всех наук была именно геометрия, родившаяся буквально на земле – для ее измерения. Первый учебник т. н. эвклидовой геометрии – «Начала» (285 г. до н. э.) – создал древнегреческий математик Эвклид.

За долгую историю эвклидова геометрия обогатилась новыми разделами: проективной геометрией, аффинной и т. д., но неизменными остались ее основные аксиомы (их пять). Как известно, аксиомы служат отправными точками доказательств, а сами не доказываются. Но только не математиками. Сотни ученых почитали за честь доказать V аксиому о параллельных: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая ее». Они считали ее недостаточно очевидной и полагали, что это – теорема, которая обязательно доказывается. Среди пытавшихся осуществить это было много выдающихся математиков – Птолемей, Хайям, Лежандр, Ламберт и др.

Н.И. Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829) впервые предложил свою – неэвклидову – геометрию, основанную на допущении аксиомы, противоположной V аксиоме Эвклида. (Через ту самую точку – предположил ученый – можно провести не одну, а сколько угодно прямых.) Не вдаваясь в подробности, скажем только, что она заключает в себе эвклидову как частный (предельный) случай. Автор назвал свою геометрию «воображаемой», а ученый мир – «геометрией Лобачевского».